AMC 10 · 2018 · #9

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
similar-trianglesarea-trianglessimilar-figuresratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
이등변삼각형 ABC(AB=AC) 안에서 밑변 BC와 평행하게 선분 DE를 그으면, ABC는 위쪽의 삼각형 ADE와 아래쪽의 사다리꼴 DBCE로 나뉩니다. 그림 속 모든 삼각형은 ABC와 닮음입니다. DE 바로 위에는 똑같이 생긴 가장 작은 삼각형 7개가 한 줄로 놓여 있고 각 넓이는 1이며, 삼각형 ABC 전체의 넓이는 40입니다. 사다리꼴 DBCE의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
18
(C)
20
(D)
22
(E)
24

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 이 문제는 그림을 꼼꼼히 읽는 데서 풀립니다 — DE가 BC와 평행하다는 것(그래서 △ ADE가 △ ABC를 줄인 복사본이라는 것)과, 위를 향한 작은 삼각형 4개가 DE를 따라 변끼리 맞붙어 있다는 것을 알아챕니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사다리꼴을 직접 재는 대신 △ ABC를 위쪽 삼각형 ADE와 사다리꼴로 나누면, 사다리꼴 = 큰 삼각형 - 위쪽 삼각형이 됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기): 닮은 도형에서 넓이는 변의 비의 제곱으로 커지므로, 변의 비가 4임을 알면 넓이 비는 4²=16 — 따로 잴 필요가 없습니다.

1STEP 1

큰 삼각형을 둘로 나누기

DE는 △ ABC를 위쪽 삼각형 ADE와 사다리꼴 DBCE로 자르므로, 사다리꼴은 40에서 △ ADE를 뺀 값입니다.

[DBCE] = [ABC] - [ADE] = 40 - [ADE]
2STEP 2

ADE는 ABC를 줄인 복사본

DE ∥ BC이므로 △ ADE는 △ ABC와 각이 같아 △ ADE, △ ABC, 작은 삼각형이 모두 닮음입니다.

△ ADE ∼ △ ABC ∼ △(작은)
3STEP 3

DE를 따라 변의 비 찾기

위를 향한 삼각형 4개가 DE를 빈틈없이 채우므로, DE는 작은 밑변 4개 길이이고 △ ADE는 작은 삼각형을 4배 키운 것입니다.

DE = 4 × (작은 밑변) → 변의 비 = 4
4STEP 4

비를 제곱해서 넓이 구하기

닮은 도형에서 넓이는 길이의 제곱으로 커지므로 △ ADE는 작은 삼각형의 4²배, 즉 넓이는 16입니다.

[ADE] = 4² × 1 = 16
5STEP 5

빼서 마무리하기

정리하면 사다리꼴은 전체 삼각형에서 위쪽 삼각형을 뺀 것, 40 - 16 = 24입니다.

[DBCE] = 40 - 16 = 24 → (E)
정답
24
사다리꼴은 삼각형의 더 크고 넓은 아래쪽 덩어리이므로 넓이의 대부분을 차지해야 하는데, 40 중 24는 절반보다 크니 잘 들어맞습니다. 더 깔끔한 교차 확인: 변의 비가 4인 삼각형 ADE는 가장 작은 삼각형 16개가 아래에서 위로 7,5,3,1개씩 줄지어(7+5+3+1=16) 만든 것이므로 [ADE]=16, 따라서 [DBCE]=40-16=24입니다. 더 작은 보기 (A) 16부터 (D) 22까지는 모두 △ ADE가 16보다 커야 하는데, 변의 비 4가 [ADE]를 정확히 16으로 고정하므로 (E)만이 일관된 값입니다.
💡핵심 정리

밑변과 평행한 선은 삼각형의 작은 복사본을 잘라내는데, 변이 4배 작으면 넓이는 4²=16배 작으므로 남는 사다리꼴은 40-16=24입니다.

  • 큰 삼각형을 둘로 나누기
  • ADE는 ABC를 줄인 복사본
  • DE를 따라 변의 비 찾기
  • 비를 제곱해서 넓이 구하기
  • 빼서 마무리하기

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