AMC 10 · 2018 · #10

학년 8 geometry-3d
유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid
volume-rectangular-prismcoordinate-geometryspatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
직육면체 상자가 있고 밑면은 ABCD, 윗면은 EFGH이며 E,F,G,H는 각각 A,B,C,D의 바로 위에 있다. 모서리는 AB=3, BC=1, 수직 모서리 CG=2이다. 점 M은 윗면 모서리 FG의 중점이다. 밑면이 기울어진 직사각형 BCHE이고 꼭짓점(apex)이 M인 피라미드의 부피를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$frac{4}{3}$
(C)
$frac{3}{2}$
(D)
$frac{5}{3}$
(E)
2

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 밑면 BCHE가 기울어진 평면이라 그 넓이와 꼭짓점 높이를 바로 읽기 어렵다. 상자를 xyz-좌표에 놓으면 모든 모서리가 깔끔한 수가 되고, 기울어진 밑면이 상자 안에 어떻게 놓이는지 보인다. 도구 #1 (그림 그리기): 여덟 꼭짓점에 좌표를 주면 M과 밑면이 구체적이 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 기울어진 피라미드를 정면으로 다루는 대신, 밑면 BCHE가 상자를 정확히 반으로 잘라 삼각기둥을 만들고, 피라미드는 그 기둥에서 모서리의 작은 사면체 두 개를 뺀 것임을 알아챈다 — 각 조각이 쉽다.

1STEP 1

상자를 좌표에 놓기

A를 원점에 두면 모서리 길이가 좌표가 되고, 상자 전체 부피는 6이다.

V_box = 3 · 1 · 2 = 6
2STEP 2

밑면이 상자를 반으로 자른다

밑면이 상자 중심을 지나 상자를 똑같은 두 반쪽으로 나누고, M쪽 반쪽은 부피 3인 삼각기둥(끝면 BEF·CHG)이다.

V_prism = 1/2 V_box = 3
3STEP 3

삼각형 끝면의 넓이

삼각형 끝면 BEF는 두 변이 3(가로)과 2(높이)인 직각삼각형이라 넓이는 3이다.

[BEF] = 1/2· 3 · 2 = 3
4STEP 4

모서리 사면체 두 개 잘라내기

기둥은 피라미드에 모서리 사면체 두 개를 더한 것이고, 각 M-BEF는 밑넓이 3·높이 1/2이라 부피는 1/2이다.

V_M-BEF = 1/3· 3 · 1/2 = 1/2
5STEP 5

빼서 피라미드 구하기

원하는 피라미드는 기둥에서 모서리 사면체 두 개를 뺀 것: 3에서 1을 빼면 부피는 2이다.

V_M-BCHE = 3 - 2·1/2 = 3 - 1 = 2 → (E)
정답
2
피라미드는 기둥의 3 중 2를 채운다. 즉 반쪽 상자의 3분의 2인데, 기울어진 면 전체에 걸쳐 반대쪽 모서리까지 닿는 피라미드라면 타당한 값이다. 직접 확인해도 맞는다: 밑면 BCHE의 변은 1(모서리 BC)과 √(13)(모서리 BE, √(3²+2²)=√(13))이므로 넓이는 √(13)이고, M에서 그 평면까지의 수직거리는 6/√(13)이 되어 1/3·√(13)·6/√(13)=2이다 — √(13)이 약분되어 답은 정확히 2=(E)이다. 더 작은 보기 (A) 1부터 (D) 5/3까지는 피라미드가 반쪽 상자의 3분의 2보다 적게 채워야 하는데, 분해 결과가 그것을 배제한다.
💡핵심 정리

기울어진 밑면이 상자를 정확히 반으로 잘라 부피 3인 기둥을 만들고, 모서리 사면체 두 개(각 1/2)를 깎아내면 남는 피라미드의 부피는 2이다.

  • 상자를 좌표에 놓기
  • 밑면이 상자를 반으로 자른다
  • 삼각형 끝면의 넓이
  • 모서리 사면체 두 개 잘라내기
  • 빼서 피라미드 구하기

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