AMC 10 · 2018 · #12

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
coordinate-geometryarea-circlessimilar-figures convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-circles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
AB는 원의 지름이고 AB=24이므로, 이 원의 중심은 O(AB의 중점)이고 반지름은 12이다. 점 C가 원 위를 움직인다(A나 B에는 결코 놓이지 않는다). C의 각 위치마다 △ ABC의 무게중심 — 세 꼭짓점의 평균 — 을 찍는다. 이 무게중심들이 자신만의 닫힌 곡선(두 점이 빠진 원)을 그린다. 그 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 가장 가까운 정수로 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
25
(B)
38
(C)
50
(D)
63
(E)
75

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수로 바꾸기): 움직이는 점은 말로 좇기 어렵지만, 그림을 좌표에 올려놓고 무게중심 공식을 쓰면 답이 단순한 계산으로 떨어진다. 도구 #1 (그림 그리기): 중심 O를 원점에 두고 A=(-12,0), B=(12,0)로 놓으면 A와 B가 원점에 대해 대칭이 되어, 무게중심에 대한 그들의 기여가 0으로 사라진다. 도구 #5 (패턴 찾기): 무게중심 공식은 모든 무게중심이 자기 점 C를 O 쪽으로 1/3만큼 줄인 점임을 드러낸다 — 큰 원을 같은 모양의 작은 원으로 바꾸는 하나의 축소 규칙이어서, C를 점마다 일일이 좇을 필요가 없다.

1STEP 1

그림을 좌표에 올리기

중심 O를 원점에 두면 A=(-12,0), B=(12,0), C=(x,y)는 원 x²+y²=144 위를 돈다 — A와 B는 거울상이다.

O=(0,0), A=(-12,0), B=(12,0), C=(x,y) , x²+y²=144
2STEP 2

무게중심 공식 적용하기

무게중심은 세 꼭짓점의 평균인데 A와 B의 좌표가 상쇄되어(-12+12=0, 0+0=0) G=(x/3, y/3)만 남는다.

G=((-12+12+x)/3, (0+0+y)/3)=(x/3, y/3)
3STEP 3

공식을 축소 규칙으로 읽기

G=(x/3,y/3)는 각 C를 O 쪽으로 1/3배 함을 뜻한다. 이 규칙이 O 중심, 비율 1/3의 닮음변환이며 모든 C에 통한다.

G=1/3 C (O 중심, 비율 1/3인 닮음변환)
4STEP 4

원 전체를 줄이기

닮음변환은 원을 원으로, 모든 길이를 1/3배로 보내므로 G는 O 중심 반지름 4인 원을 그린다; C=A,B는 두 점만 지운다.

OG=1/3 OC=1/3· 12 = 4 → 무게중심들은 반지름 4인 원을 이룬다
5STEP 5

작은 원의 넓이 구하기

그려진 곡선은 반지름 4인 원이므로 넓이는 π·4²=16π이고, 가장 가까운 정수로 반올림한다.

넓이=π· 4² = 16π ≈ 50.27 ≈ 50 → (C)
정답
50
무게중심 원의 반지름은 4로 원래 반지름 12의 정확히 3분의 1이므로, 그 넓이는 큰 원의 넓이 π· 12² = 144π의 (1/3)²=1/9이어야 한다. 실제로 1/9· 144π = 16π ≈ 50.3으로 일치한다. 값 16π는 50으로 반올림되어 보기 (C)이다. 다른 보기는 틀린 반지름에 해당한다: 25≈π r²이려면 r≈ 2.8, 75이려면 r≈ 4.9가 필요한데, 깔끔한 1/3 축소와 맞지 않으므로 배제된다.
💡핵심 정리

무게중심은 언제나 점 C를 중심 쪽으로 3분의 1만큼 끌어당긴 점이므로 반지름 4인 원을 그리고, π·4²=16π≈ 50이다.

  • 그림을 좌표에 올리기
  • 무게중심 공식 적용하기
  • 공식을 축소 규칙으로 읽기
  • 원 전체를 줄이기
  • 작은 원의 넓이 구하기

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