AMC 10 · 2018 · #14

학년 6 arithmetic
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen
mean-median-mode-rangeoptimization-counting extremal-constructionbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 목록에 2018개의 양의 정수가 들어 있다. 그중 한 값이 유일한 최빈값(mode)이며, 이는 다른 어떤 값보다도 많이 나타난다는 뜻이고, 정확히 10번 나타난다. 이 목록에 들어 있는 서로 다른 값의 개수가 가질 수 있는 최솟값을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
202
(B)
223
(C)
224
(D)
225
(E)
234

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

도구 #14 (극단의 원리): 서로 다른 값이 적을수록 각 값이 2018개 중 더 많은 자리를 떠맡아야 하므로, 최빈값이 아닌 각 값을 허용되는 가장 큰 횟수까지 밀어붙인다. 유일한 최빈값 규칙이 그 한계를 정한다. 도구 #4 (변수 도입하기): 최빈값이 아닌 값의 개수를 d로 두고, 말로 된 조건을 하나의 부등식 9d ≥ 2008로 바꾼다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 정해진 총합 2018에서 출발해 최빈값이 이미 쓴 10자리를 떼어내고, 나머지 값들이 채워야 할 자리가 몇 개인지 본다.

1STEP 1

다른 값은 모두 9로 제한

유일한 최빈값은 10번이므로 다른 값은 10에 이를 수 없고, 최빈값이 아닌 값은 9로 제한된다.

(최빈값이 아닌 값의 횟수) ≤ 9
2STEP 2

최빈값의 열 자리 빼기

최빈값이 이미 10자리를 채우므로, 다른 값들이 2018자리 중 2008자리를 채워야 한다.

2018 - 10 = 2008
3STEP 3

하나의 부등식으로 바꾸기

최빈값이 아닌 값의 개수를 d라 하면 각각 많아야 9를 채우므로 9d ≥ 2008이다.

9d ≥ 2008
4STEP 4

나눗셈하고 나머지 읽기

나누면 2008 ÷ 9 = 223 나머지 1이라 223개로는 한 자리 모자라, 224로 올림한다.

2008 ÷ 9 = 223 나머지 1 → d ≥ 224
5STEP 5

최빈값 다시 더하기

최빈값이 아닌 값 224개에 최빈값을 더하면 224 + 1 = 225, 최빈값의 10은 여전히 모든 9를 이긴다.

224 + 1 = 225 → (D)
정답
225
직접 만들어 확인한다: 값 223개 × 9 = 2007, 값 한 개 × 1 = 1, 최빈값 × 10 = 10, 합 2007 + 1 + 10 = 2018 — 정확히 맞고, 최빈값의 10이 많아야 9인 다른 모든 횟수를 이기므로 진짜 유일한 최빈값이다. 더 줄일 수는 없다: 서로 다른 값이 총 224개(최빈값이 아닌 값 223개)뿐이면 그 값들은 많아야 9 · 223 = 2007자리를 채워 2018 - 10 - 2007 = 1자리가 갈 곳이 없다. 따라서 225가 강제되며 (D)와 일치한다. 더 작은 보기 (A) 202, (B) 223, (C) 224는 각각 9씩으로 2008자리를 채우기에는 값이 너무 적다.
💡핵심 정리

유일한 최빈값 10은 나머지 모두를 9로 제한하므로, 다른 2008자리를 9씩 묶어 채우면 값 224개가 필요하고, 최빈값을 더하면 225이다.

  • 다른 값은 모두 9로 제한
  • 최빈값의 열 자리 빼기
  • 하나의 부등식으로 바꾸기
  • 나눗셈하고 나머지 읽기
  • 최빈값 다시 더하기

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