AMC 10 · 2018 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직사각형 PQRS의 변은 PQ=8, QR=6이다. 각 변 위에 점이 두 개씩 있고, 이 점들을 순서대로 이으면 여덟 변의 길이가 모두 같은 볼록 팔각형 ABCDEFGH가 된다. 이 공통 길이는 n이 제곱인수가 없는 꼴 k+m√(n)으로 쓸 수 있다. k+m+n을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

106

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수로 바꾸기): 등변이라는 사실이 핵심이고, 변의 길이를 s로 놓고 직사각형의 각 모서리가 작은 직각삼각형으로 잘려 나간다는 점을 알아채면 그것이 식 하나로 바뀐다. 도구 #1 (그림 그리기): 네 모서리의 직각삼각형과 함께 직사각형을 그리면 어느 선분이 팔각형의 변이고 어느 것이 각 변에 남은 조각인지 보인다. 도구 #4 (변수 도입하기): 변의 길이를 s로 부르면 각 변에 남은 조각을 모두 s로 나타낼 수 있다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 작업은 두 부분으로 나뉜다 — 먼저 s를 구하고, 그다음 k, m, n을 읽어 더한다.

1STEP 1

직사각형과 모서리 삼각형 그리기

직사각형 PQRS를 그리면 각 모서리에서 작은 직각삼각형이 잘려 나가고, 그 빗변이 공통 길이 s인 팔각형의 한 변이다.

AB=BC=CD=…=s (여덟 변이 모두 같음)

2STEP 2

모서리 다리를 s로 나타내기

각 변을 대칭으로 나누면 모서리 Q의 직각에서 두 다리 BQ=(8-s)/2, QC=(6-s)/2가 나오고, 팔각형 변 s가 빗변이다.

BQ=(8-s)/2, QC=(6-s)/2, BC=s

3STEP 3

모서리 Q에서 피타고라스 정리 쓰기

삼각형 BQC는 Q에서 직각이므로, 피타고라스 정리가 두 다리 (8-s)/2와 (6-s)/2를 빗변 s에 s 하나짜리 식으로 묶는다.

((8-s)/2)²+((6-s)/2)²=s²

4STEP 4

분수를 없애고 이차식으로 정리하기

분모를 없애고 두 제곱을 전개하면 모두 이차식 s²+14s-50=0으로 압축된다.

(8-s)²+(6-s)²=4s² ⟹ s²+14s-50=0

5STEP 5

완전제곱으로 변 길이 구하기

완전제곱으로 (s+7)²=99가 되어 s=-7+3√(11)이다; 음의 근은 버리고, BQ=(8-s)/2≈2.52는 AP=BQ 조건에 맞는다.

(s+7)²=99 ⟹ s=-7+3√(11)

6STEP 6

k, m, n을 읽어 더하기

s=-7+3√(11)을 k+m√(n) 꼴로 읽으면 k=-7, m=3, n=11이므로, 합은 k+m+n=-7+3+11=7, 보기 (B).

k+m+n=(-7)+3+11=7 → (B)

정답

변 s=-7+3√(11)≈ 2.95는 타당한 길이이다: 양수이고, 두 직사각형 변보다 작으며, BQ=(8-s)/2≈ 2.52를 주어 조건 AP=BQ ＜ 4를 지킨다. 음의 근은 올바르게 버렸다. s≈ 2.95를 도로 넣으면 모서리 두 다리는 약 2.52와 1.52이고, 2.52²+1.52²≈ 6.36+2.31=8.67≈ 2.95²이므로 피타고라스 관계가 맞는다. 합 k+m+n=7은 정확히 보기 (B)이다. 함정 답들은 k=-7의 부호 실수(+7로 보면 합이 부풀어 오른다)나 √(99)=3√(11)을 잘못 다룬 데서 나온다.

💡핵심 정리

직사각형의 각 모서리는 빗변이 팔각형 변인 직각삼각형으로 잘리므로, 피타고라스 정리가 '모든 변이 같다'를 이차식으로 바꿔 s=-7+3√(11)으로 풀린다.

직사각형과 모서리 삼각형 그리기
모서리 다리를 s로 나타내기
모서리 Q에서 피타고라스 정리 쓰기
분수를 없애고 이차식으로 정리하기
완전제곱으로 변 길이 구하기
k, m, n을 읽어 더하기