AMC 10 · 2018 · #18

학년 7 arithmetic
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
permutations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
여섯 명의 아이들 — 서로 다른 세 가족에서 온 세 쌍의 남매 — 가 각 줄에 세 자리씩 있는 두 줄(2× 3 자리 격자)을 채운다. 두 가지 규칙이 있다: 남매는 같은 줄에서 바로 옆자리에 앉을 수 없고, 어떤 아이도 자기 남매의 바로 앞이나 뒤(같은 열)에 앉을 수 없다. 두 규칙을 모두 지키는 자리 배치의 수를 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$text{ 60}$
(B)
$text{ 72}$
(C)
$text{ 92}$
(D)
$text{ 96}$
(E)
$text{ 120}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 유효한 자리 배치 모양은 몇 가지뿐이므로, 정확한 개수를 얻는 안전한 방법은 경우를 빠뜨리거나 두 번 세지 않도록 정해진 순서로 나열하는 것이다. 도구 #1 (그림 그리기): 2× 3 격자를 그리면 두 규칙이 '한 가족이 어떤 자리를 함께 쓸 수 있는가'에 대한 단순한 말로 바뀐다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 일을 '어느 가족이 각 자리에 앉는가'를 먼저 정하고, 그다음 '그 가족의 어느 남매가 어느 자리를 차지하는가'로 나눈다 — 곱하면 되는 두 개의 쉬운 셈이다. 도구 #3 (가능성 지우기): 일부만 채워진 격자마다 대부분의 이어 채우는 방법은 규칙을 어기므로, 그것들을 지워 나가면 유효한 것만 빠르게 남는다.

1STEP 1

격자를 그리고 규칙을 옮기기

2× 3 격자를 그리면 두 규칙은 한 가족의 두 자리가 서로 다른 열이고 같은 줄 이웃이 아니어야 함을 뜻한다.

F₁ & F₂ & F₃ ; B₁ & B₂ & B₃ ;
2STEP 2

두 개의 더 쉬운 셈으로 나누기

두 단계로 센다: 먼저 가족 패턴(누가 어디 앉는지), 그다음 각 가족 안 남매 맞바꿈 2³가지를 곱한다.

전체 = (유효한 가족 패턴 수) × 2³
3STEP 3

가족 A를 앞줄 왼쪽에 두고 유효한 패턴 나열하기

가족 A를 F₁에 고정하면 짝은 B₂ 또는 B₃뿐이고, B·C를 규칙대로 채우면 정확히 4가지 패턴이 나온다.

앞 A B C & & 앞 A C B ; 뒤 B C A & & 뒤 C B A 앞 A B C & & 앞 A C B ; 뒤 C A B & & 뒤 B A C
4STEP 4

누가 앞줄 왼쪽에 앉는지 따지기

B나 C가 F₁에 앉을 수도 있어, 겹치지 않는 세 묶음으로 4 × 3 = 12가지 유효한 가족 패턴이 된다.

4 × 3 = 12 개의 유효한 가족 패턴
5STEP 5

가족마다 두 남매를 되살리기

12개 패턴 각각이 2³ = 8개 실제 배치로 갈라져, 12 × 8 = 96가지가 두 규칙을 모두 지킨다 — 보기 (D).

12 × 2³ = 12 × 8 = 96 → (D)
정답
text{ 96}
빠른 나누어떨어짐 필터로 크기를 확인한다. 세 가족 각각 안에서 두 남매를 바꾸면 어떤 유효한 개수든 2³ = 8배가 되고, 세 가족을 그들의 자리쌍에 다시 이름 붙이면 3! = 6배가 된다. 어느 연산으로도 그대로 남는 유효한 배치가 없으므로, 참값은 8 × 6 = 48의 배수여야 한다. 보기 60, 72, 92, 96, 120 중 48의 배수는 96뿐이다. 이는 답을 (D)로 못 박고 직접 센 12 × 8 = 96과도 일치한다.
💡핵심 정리

먼저 가족 배치를 세고(12가지), 각 가족 안에서 두 남매를 바꾸는 2³=8을 곱하면 96이 된다.

  • 격자를 그리고 규칙을 옮기기
  • 두 개의 더 쉬운 셈으로 나누기
  • 가족 A를 앞줄 왼쪽에 두고 유효한 패턴 나열하기
  • 누가 앞줄 왼쪽에 앉는지 따지기
  • 가족마다 두 남매를 되살리기

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