AMC 10 · 2018 · #20

학년 4 arithmetic
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula
recursive-sequencepattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: recursive-sequence
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
어떤 수의 목록을 규칙으로 만든다. 처음 두 수는 모두 1이고, 셋째부터는 각 수가 바로 앞 수에서 그 앞 수를 빼고, 자기 자리 번호를 더한 값이다. 이 목록의 2018번째 수를 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2016
(B)
2017
(C)
2018
(D)
2019
(E)
2020

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 규칙을 적용하기 쉬우므로 처음 열몇 개 항을 써 보는 데 거의 비용이 들지 않고, 들여다볼 실제 수가 생긴다. 도구 #5 (패턴 찾기): 앞쪽 항들을 나열하고 나면, 핵심은 여섯 자리 떨어진 항들을 비교해 일정한 양만큼 올라간다는 것을 알아채는 것이다 — 이 관찰 하나가 2018번의 계산을 대신한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 여섯 걸음 도약을 손에 쥐면, f(2018) 구하기는 시작 부근의 작은 항 하나와 2018 안에 도약이 몇 번 들어가는지 세는 것으로 줄어든다.

1STEP 1

처음 몇 항 나열하기

규칙을 f(1)=f(2)=1부터 적용하면 1, 1, 3, 6, 8, 8, 7, 7, 9, 12, 14, 14, 13이 나온다.

f(1{…}13) = 1, 1, 3, 6, 8, 8, 7, 7, 9, 12, 14, 14, 13
2STEP 2

여섯 자리 떨어진 항 비교하기

각 항을 여섯 뒤 항과 짝지으면 — f(1),f(7); f(2),f(8); … — 모든 짝이 6 차이라서 여섯 자리 앞은 6을 더한다.

f(n+6) = f(n) + 6
3STEP 3

2018에 닿는 여섯-도약 횟수 구하기

2018을 6으로 나누면 2018 = 6 × 336 + 2라서 f(2018)은 작은 항 f(2)보다 336번 도약 위에 있다.

2018 = 6 × 336 + 2 → f(2018) = f(2) + 6 × 336
4STEP 4

더하기

f(2) = 1에 6 × 336 = 2016을 더하면 f(2018) = 1 + 2016 = 2017, 보기 (B)와 일치한다.

f(2018) = 1 + 6 × 336 = 1 + 2016 = 2017 → (B)
정답
2017
답 2017은 자리 번호 2018 바로 아래에 놓이는데, 이는 자연스럽다: 나열한 항들이 자기 자리 번호에 가깝게 머무르므로(예: f(7) = 7, f(13) = 13), f(2018)도 2018 부근이어야 한다. 함정 보기 2016, 2018, 2019, 2020은 모두 하나나 둘 차이로, 도약을 잘못 세거나 엉뚱한 작은 항에서 시작할 때 나오는 실수다. 빠른 확인이 못을 박는다: 2016 = 6 × 336은 336번의 도약에서 오고, 남는 +1은 f(2) = 1에서 와서 반올림 여지 없이 2017이 된다.
💡핵심 정리

수열이 여섯 걸음마다 같은 모양을 반복하면 여섯씩 도약하라: 도약 횟수를 세고, 도약마다 여섯을 더하고, 작은 알려진 항에서 시작하라.

  • 처음 몇 항 나열하기
  • 여섯 자리 떨어진 항 비교하기
  • 2018에 닿는 여섯-도약 횟수 구하기
  • 더하기

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