AMC 10 · 2018 · #25
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #13 (대수로 바꾸기): 까다로운 부분은 바닥 기호이므로, 첫 수는 그것을 한쪽으로 옮기고 x - ⌊ x ⌋를 소수 부분으로 알아보는 것이다. 이 한 번의 변형이 방정식을 훨씬 읽기 쉬운 x² = 10000{x}로 바꾼다. 도구 #4 (변수 도입하기): 정수 부분을 n = ⌊ x ⌋로 이름 붙이면, 실수 전체가 정수 n마다 하나씩 구간 [n, n+1)로 쪼개진다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 전체 직선을 한꺼번에 보는 대신 '한 구간 [n, n+1) 안에 해가 몇 개 있는가?'라는 작은 질문을 묻고, 통하는 구간을 센다. 도구 #1 (그림 그리기): 포물선 y = x²를 올라가는 톱니 y = 10000{x}와 겹쳐 그리면, 통하는 각 구간이 정확히 한 번 교차함을 한눈에 볼 수 있다.
바닥 항을 옆으로 옮기기
바닥 항을 빼면 x² = 10000/x, 여기서 {x} = x - ⌊ x ⌋는 [0,1)의 소수 부분이다.
x에서 정수 부분을 떼고 남는 것이 소수 부분이고, 바닥 항이 재고 있는 것은 바로 그것뿐이다.
6.EE.A.3Convert To Algebrax가 얼마나 클 수 있는지 가두기
{x}가 [0,1)에 있어 오른쪽은 10000 미만이고, x² ＜ 10000이므로 모든 해가 -100 ＜ x ＜ 100에 갇힌다.
제곱이 10000보다 작다는 것은 그 수 자체가 -100과 100 사이에 끼었다는 뜻이다.
8.EE.A.2Use Matrix Logic한 구간으로 확대하기
[n, n+1)에서 바닥은 n이라 방정식은 x² = 10000(x - n)이고, 느린 포물선과 가파른 직선은 여기서 많아야 한 번 만난다.
한 단위 걸음 동안 가파른 직선은 느린 포물선을 정확히 한 번 따라잡거나 아예 못 따라잡는다.
8.F.A.1Draw A Diagram어느 구간이 교차를 주는지 찾기
직선이 구간 안에서 포물선을 앞지르는 것은 (n+1)² ＜ 10000일 때뿐이고, 아니면 포물선이 위에 머물러 해가 없다.
구간이 다 가기 전에 가파른 직선이 포물선을 앞지를 때에만 해가 존재한다.
6.EE.B.5Solve An Easier Related Problem통하는 구간 세기
(n+1)² ＜ 10000을 풀면 n = -100, …, 98, 즉 199개의 정수이고 각각 해 하나씩 — 해는 199개, 보기 (C)이다.
통하는 정수 n마다 해가 하나씩이므로, 정수를 세면 해가 세어진다.
6.EE.B.8Use Matrix Logic바닥 함수 방정식을 한 단위 구간씩 쪼개고, 각 구간에서 교차가 한 번 있는지 확인한 뒤, 통하는 구간을 세라.
- 바닥 항을 옆으로 옮기기
- x가 얼마나 클 수 있는지 가두기
- 한 구간으로 확대하기
- 어느 구간이 교차를 주는지 찾기
- 통하는 구간 세기