AMC 10 · 2018 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-rectanglessystems-of-equationssurface-area convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglessystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직육면체의 모서리 길이가 X, Y, Z 입니다. 여섯 면은 마주 보는 세 쌍을 이루며, 넓이는 각각 24, 24, 48, 48, 72, 72 제곱단위입니다. X + Y + Z 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

직육면체의 각 면은 세 모서리 길이 중 두 개의 곱을 넓이로 갖는 직사각형입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 이를 구체화: 직육면체를 그리고 모서리를 a, b, c 로 두면, 한 꼭짓점에서 만나는 세 면의 넓이가 ab, ac, bc 임이 보입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 주어진 세 넓이를 세 방정식 ab = 24, ac = 48, bc = 72 로 바꿉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 깔끔한 경로를 줍니다 — 두 방정식을 나눠 변수를 하나 없애고, 남은 한 방정식을 풀고, 다시 대입. 큰 곱을 구하거나 추측할 필요 없이 방정식이 그대로 풀립니다.

1STEP 1

모서리를 a, b, c 로 두면 각 면은 두 모서리의 곱이므로 ab = 24, ac = 48, bc = 72.

ab = 24, ac = 48, bc = 72

2STEP 2

ac = 48 을 ab = 24 로 나눠 공통 모서리 a 를 약분하면 48/24 = 2, 즉 c = 2b.

ac/ab = 48/24 = 2 → c/b = 2 → c = 2b

3STEP 3

c = 2b 를 bc = 72 에 대입하면 2b² = 72, b² = 36, 양수이므로 b = 6, c = 12.

b · 2b = 72 → 2b² = 72 → b² = 36 → b = 6, c = 12

4STEP 4

ab = 24 에 b = 6 을 넣으면 a = 4. 세 모서리 4, 6, 12 의 합은 4 + 6 + 12 = 22, 답 (B).

a = 24/6 = 4 → X + Y + Z = 4 + 6 + 12 = 22 → (B)

정답

모서리를 세 면의 넓이에 다시 넣어 확인: ab = 4 · 6 = 24, ac = 4 · 12 = 48, bc = 6 · 12 = 72 — 여섯 면 모두 24, 24, 48, 48, 72, 72 와 일치. 합 4 + 6 + 12 = 22 가 답 (B). 선택지 가운데 타당한 위치입니다: 너무 작은 (A) 18 은 모서리가 짧아 넓이 72 에 못 미치고, 더 큰 선택지들은 24 면을 넘어섭니다.

💡핵심 정리

직육면체의 각 면은 두 모서리의 곱이라서, 두 면을 나누면 공유 모서리가 약분되고 나머지가 술술 풀려요.

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