AMC 10 · 2018 · #6

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

probability-basicpermutations-basic systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1,2,3,4,5가 적힌 칩을 한 번에 하나씩 비복원으로 뽑되, 뽑은 값의 합이 4를 처음 넘는 순간 멈춘다. 합이 처음으로 4를 넘기까지 정확히 3번 뽑아야 할 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{15}$

(B)

$frac{1}{10}$

(C)

$frac{1}{6}$

(D)

$frac{1}{5}$

(E)

$frac{1}{4}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #16 (관점 바꾸기): 세 번째 뽑기를 따지는 대신, 세 번째 뽑기가 필요하다는 것은 곧 처음 두 칩의 합이 4 이하라는 조건과 같음을 알아챈다 — 그러면 처음 두 번의 뽑기만 보면 된다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 처음 두 칩은 나열할 수 있는 작은 집합이므로, 합이 4 이하인 모든 쌍을 나열하고 순서를 고려한 경우의 수를 센다. 도구 #3 (가능성 지우기): 확률은 다섯 보기 중 하나여야 하므로, 1/5을 확인하고 나머지를 제거한다.

1STEP 1

재구성: 세 번째 뽑기는 언제 필요한가

세 번째 뽑기는 처음 두 칩의 합이 이미 4 이하일 때만 필요하다 — 아니면 더 일찍 멈췄을 것이다.

첫째 칩 + 둘째 칩 ≤ 4

2STEP 2

합이 작은 쌍 나열하기

합이 4 이하인 서로 다른 칩 쌍은 {1,2}와 {1,3} 둘뿐이다 — 1이 없는 쌍은 이미 4를 넘는다.

1+2=3 ≤ 4, 1+3=4 ≤ 4; 나머지 모든 쌍 ＞ 4

3STEP 3

유리한 순서쌍의 수 세기

순서가 중요하므로 각 쌍은 두 순서로 갈라진다 — (1,2),(2,1),(1,3),(3,1) — 유리한 순서는 4가지다.

2 쌍 × 2 순서 = 4 가지 유리한 순서

4STEP 4

처음 두 뽑기의 모든 경우 세기

처음 두 뽑기는 5 × 4 = 20가지 순서로 똑같이 나온다: 처음 5개, 다음 남은 4개.

5 × 4 = 20 가지 전체 순서

5STEP 5

확률 구하기

유리한 경우를 전체로 나눈다: 4/20 = 1/5, 즉 보기 (D)이다.

4/20 = 1/5 → (D)

정답

frac{1}{5}

답 1/5은 작지만 아주 작지는 않은 확률로, 이는 자연스럽다: 세 번째 뽑기가 필요하려면 특별히 작은 쌍(1에 2 또는 3을 짝지은 것)이 나와야 하고, 이는 흔하지 않지만 드물지도 않다. 셈은 정확하다 — 20가지 중 유리한 순서가 4가지이고 4/20은 깔끔하게 1/5로 약분되어 (D)와 맞는다. 보기 (A) 1/15와 (B) 1/10은 너무 작고(유리한 순서가 4보다 적어야 함), (E) 1/4는 유리한 순서가 5가지여야 하며, (C) 1/6은 20을 정수로 나누지 못한다 — 오직 (D)만 들어맞는다.

💡핵심 정리

처음 두 칩의 합이 4 이하일 때만 세 번째 뽑기가 필요한데, 그건 {1,2} 또는 {1,3}뿐이라 20가지 중 4가지 순서, 즉 확률은 1/5이다.

재구성: 세 번째 뽑기는 언제 필요한가
합이 작은 쌍 나열하기
유리한 순서쌍의 수 세기
처음 두 뽑기의 모든 경우 세기
확률 구하기

재구성: 세 번째 뽑기는 언제 필요한가

합이 작은 쌍 나열하기

유리한 순서쌍의 수 세기

처음 두 뽑기의 모든 경우 세기

확률 구하기

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