AMC 10 · 2018 · #7

학년 7 geometry-2d

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area-circlesratio-proportionsimilar-figures convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 반원의 평평한 지름 위에 똑같은 작은 반원 N개가 한 줄로 놓여 있고, 작은 반원들의 지름이 큰 지름을 빈틈도 겹침도 없이 정확히 덮습니다. A는 작은 반원들의 넓이의 합이고, B는 큰 반원 안쪽이면서 작은 반원들 바깥쪽인 영역의 넓이입니다. A:B = 1:18일 때 N을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #1(그림 그리기): 그림이 핵심 사실을 알려줍니다 — 작은 지름 N개를 끝과 끝을 이어 붙이면 큰 지름과 같으므로, 큰 반지름은 작은 반지름의 정확히 N배입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기): 작은 반지름을 r로 두고 모든 넓이를 r와 N으로 나타내면, 비를 만들 때 복잡한 1/2π r² 인수가 약분되어 N에 관한 깔끔한 식만 남습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 작은 반원 전체 넓이 A, 큰 반원 넓이, 남은 영역 B의 세 조각으로 나눈 뒤 합칩니다. 그러면 비 조건이 한 줄짜리 방정식이 됩니다.

1STEP 1

그림에서 반지름 이름 붙이기

작은 반지름을 r라 하면 지름 2r인 반원 N개가 큰 지름을 덮으므로 큰 반지름은 R = Nr입니다.

R = N· 2r ÷ 2 = Nr

2STEP 2

작은 반원들의 넓이 전부

작은 반원 하나는 1/2π r²이고, N개가 있으므로 작은 넓이의 합은 A = N· 1/2π r²입니다.

A = N· 1/2π r²

3STEP 3

큰 반원의 넓이

큰 반지름 Nr의 넓이는 1/2π N² r²이고, 작은 반원과 나머지를 합한 것이므로 A + B = 1/2π N² r²입니다.

A + B = 1/2π (Nr)² = 1/2π N² r²

4STEP 4

남은 영역 B 구하기

큰 넓이에서 작은 넓이를 빼고 1/2π r²로 묶으면 B = 1/2π r² (N² - N)입니다.

B = 1/2π r² (N² - N)

5STEP 5

비를 만들고 약분하기

A를 B로 나누면 1/2π r²가 약분되고 N(N-1)이 줄어 A/B = 1/(N-1)만 남습니다.

A/B = (N· 1/2π r²)/(1/2π r² (N²-N)) = N/(N(N-1)) = 1/(N-1)

6STEP 6

N 구하기

1:(N-1)을 주어진 1:18과 같다고 두면 N - 1 = 18이므로 N = 19, 선택지 (D)입니다.

N - 1 = 18 → N = 19 → (D)

정답

간단한 방법으로 확인해 봅니다: 작은 반원 하나는 1/2π r²이고 큰 반원은 1/2π N² r²이므로, 작은 조각 하나는 큰 영역의 1/N²입니다. 작은 조각이 N개이므로 A는 전체의 N/N² = 1/N입니다. 따라서 A:(A+B) = 1:N이고, 곧 A:B = 1:(N-1)입니다. N-1=18을 풀면 N=19로 대수 풀이와 일치합니다. 함정 선택지 (C) 18은 A:B를 1:(N-1)이 아니라 1:N으로 잘못 읽은 것이고, (E) 36 = 2× 18은 두 배 실수에서 나옵니다 — 오직 (D)만 살아남습니다.

💡핵심 정리

큰 반지름이 작은 반지름의 N배이므로 큰 반원은 작은 조각 하나의 N²배이고, 작은 조각 N개는 전체의 1/N을 채웁니다 — 그래서 A:B = 1:(N-1)이고 1:18이면 N=19입니다.

그림에서 반지름 이름 붙이기
작은 반원들의 넓이 전부
큰 반원의 넓이
남은 영역 B 구하기
비를 만들고 약분하기
N 구하기