경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019A · #14

학년 8 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

combinations-basiccaseworkcontradiction-elementarysystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcontradiction-elementary ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

평면 위에 서로 다른 네 직선을 그릴 때, 두 직선 이상이 만나는 점의 개수를 N 이라 한다 (한 점에서 몇 개의 직선이 만나든 그 점은 한 번만 셈). 가능한 모든 N 의 값을 모두 더한 값을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 후보 배치들을 직접 스케치. 도구 #2(나열): 후보 값 N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (최대는 C(4, 2) = 6)를 적어두고 각 값이 가능한지 점검. 도구 #9(쉬운 문제): 각 값마다 구체적인 작은 그림 — 전부 평행, 한 점 다발, 평행쌍 + 횡단선 등. 도구 #3(가능성 지우기): N = 2가 불가능함을 짧은 모순 논증으로 보이고 살아남는 값을 모두 더함.

1STEP 1

최댓값 한계 정하기

두 직선은 최대 한 번 만나고 네 직선의 쌍은 C(4, 2) = 6 개이므로 N ≤ 6; 후보는 0–6.

N ≤ C(4, 2) = 6

2STEP 2

교점 0개 만들기

네 직선을 모두 평행하게(가로 네 줄) 그리면 어떤 쌍도 만나지 않아 N = 0.

평행 4개 → N = 0

3STEP 3

교점 1개 만들기

네 직선을 모두 한 점(원점)에 모으면 모든 쌍이 그곳에서만 만나 N = 1.

한 점에서 만나는 4개 → N = 1

4STEP 4

교점 2개 불가능 보이기

교점이 딱 두 개라 가정하면 어느 배치든 평행 관계가 세 번째 교점을 강제하므로 N = 2는 불가능.

N = 2 → 두 경우 모두 모순

5STEP 5

교점 3개 만들기

평행한 세 직선을 모두 가로지르는 횡단선 하나가 세 점에서 만나 N = 3.

평행 3 + 횡단선 1 → N = 3

6STEP 6

교점 4개 만들기

P 에 모인 공점 세 직선(1 점)에 일반 위치 네 번째 직선이 새 교점 셋을 더해 N = 4.

공점 3개 + 일반 위치 1개 → N = 1 + 3 = 4

7STEP 7

교점 5개 만들기

평행쌍 하나만 두고 공점이 없으면 여섯 교점 중 하나만 사라져 N = 5.

평행쌍 1개, 공점 없음 → N = 6 - 1 = 5

8STEP 8

교점 6개 만들기

일반 위치 네 직선(평행·공점 없음)은 모든 쌍이 따로 만나 N = 6.

일반 위치 4개 → N = C(4, 2) = 6

9STEP 9

가능한 값 모두 더하기

가능한 값을 더하면 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19.

0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19

10STEP 10

19를 선택지와 맞추기

합 19는 선택지 (D).

19 → (D)

정답

N 의 범위는 0 (모두 평행)부터 6 (일반 위치)까지. 모든 값이 가능하면 합은 0 + 1 + … + 6 = 21 인데 N = 2 하나만 불가능 — 21 - 2 = 19와 정확히 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 직선·평행 추론만 알면 풀 수 있어요! 네 직선으로 0, 1, 3, 4, 5, 6 개의 교점은 모두 만들 수 있어요 — 전부 평행 (0), 한 점 다발 (1), 평행 셋 + 횡단선 (3), 공점 셋 + 일반선 (4), 평행쌍 하나 (5), 일반 위치 (6). 오직 N = 2만 어떻게 그려도 불가능해서 빠져요. 합: 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19, 답 (D).

최댓값 한계 정하기
교점 0개 만들기
교점 1개 만들기
교점 2개 불가능 보이기
교점 3개 만들기
교점 4개 만들기
교점 5개 만들기
교점 6개 만들기
가능한 값 모두 더하기
19를 선택지와 맞추기

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