AMC 10 · 2019 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesequilateral-triangletangent-circlesthirty-sixty-ninety-trianglearea-difference area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesequilateral-triangletangent-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1 인 작은 원 13 개가 큰 원 하나 안에 들어 있습니다. 모든 만남은 "접점" 이라 서로 겹치는 영역은 없습니다. 큰 원 안쪽이지만 작은 원 13 개의 바깥쪽인 색칠된 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4 \pi \sqrt{3}$

(B)

$7 \pi$

(C)

$\pi\left(3\sqrt{3} +2\right)$

(D)

$10 \pi \left(\sqrt{3} - 1\right)$

(E)

$\pi\left(\sqrt{3} + 6\right)$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 색칠 넓이 = (큰 원 넓이) - (13 × 작은 원 넓이). 그러므로 큰 원의 반지름 R 만 알면 충분. 도구 #1 (그림): 작은 원들의 중심을 찍어 보면, 세 바깥쪽 원의 중심들이 정삼각형을 이루고, 간단한 직각삼각형 계산으로 R 이 정해집니다.

1STEP 1

외접하는 단위원은 한 점에서 만나므로 이웃한 두 중심은 정확히 2만큼 떨어져 첫 안쪽 고리가 정해집니다.

이웃한 중심 거리 = 1+1 = 2

2STEP 2

그림에서 맨 위 바깥 고리 중심이 (0, 2√(3))이므로, 바깥 고리 중심은 원점에서 2√(3) 거리에 있습니다.

|바깥쪽 고리 중심| = 2√(3)

3STEP 3

그 바깥 고리 원은 큰 원에 내접하므로 큰 원 반지름은 R = 2√(3) + 1입니다.

R = 2√(3) + 1

4STEP 4

제곱하면 (2√(3)+1)² = 12 + 4√(3) + 1, 큰 원 넓이는 π(13 + 4√(3)).

π R² = π(13 + 4√(3))

5STEP 5

단위원 하나의 넓이는 π, 13개를 합치면 13π.

13 · π = 13π

6STEP 6

13π를 빼면 π(13 + 4√(3)) - 13π = 4π√(3), 선택지 (A)와 일치.

π(13 + 4√(3)) - 13π = 4π√(3) → (A)

정답

4 π √(3)

4π√(3) ≈ 4 · 3.14 · 1.73 ≈ 21.8. 큰 원 넓이는 약 62.6, 작은 원 13 개 합은 약 40.8, 차이는 약 21.8 — 일치. 선택지 (B) 7π ≈ 22.0 은 위험하게 가까운데, (2√(3)+1)² 의 교차항 4√(3) 을 빼먹고 12 + 1 = 13 으로 계산한 함정 답.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 직각삼각형 기하만 알면 풀 수 있어요 — 큰 원 반지름이 2√(3)+1 임을 보면 π(13+4√(3)) - 13π 가 깔끔히 4π√(3) 로 정리됩니다. 답은 (A).

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