AMC 10 · 2019 · #20

학년 7 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

parityprobability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationpattern-recognition caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parityprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1, 2, …, 9 를 3 × 3 격자의 9 칸에 (한 칸에 하나씩, 모두 한 번씩) 무작위로 배치합니다. 모든 행과 모든 열의 합이 동시에 홀수가 될 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{21}$

(B)

$\frac{1}{14}$

(C)

$\frac{5}{63}$

(D)

$\frac{2}{21}$

(E)

$\frac{1}{7}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 값은 신경 쓰지 않고 홀/짝 패턴만 본다. 부분 문제 1 — 어떤 3 × 3 홀짝 패턴이 모든 행·열 합을 홀수로 만드는가? 부분 문제 2 — 그 패턴마다 실제 수 배치는 몇 가지인가? 도구 #2 (나열): 유효 홀짝 패턴 열거. 도구 #16 (관점 바꾸기): 홀 5 + 짝 4 라는 고정 합으로 인해 짝수 4 개는 2 × 2 사각형을 이루도록 강제됨.

1STEP 1

홀수 개수가 홀수여야 행 합이 홀수 — 홀수 5 개는 세 행에 3 + 1 + 1 로 갈라져 한 행만 모두 홀수, 두 행은 홀 1 개.

5 = 3 + 1 + 1

2STEP 2

열도 같은 논리 — 짝수 4 개는 비특수 2 행과 2 열이 만나는 2 × 2 블록을 채워요.

짝수는 2 × 2 부분격자에 위치

3STEP 3

모두 홀수 행 3 가지 × 모두 홀수 열 3 가지로 패턴이 유일하게 정해져 3 · 3 = 9 가지 유효 패턴.

#패턴 = 3 · 3 = 9

4STEP 4

홀수 자리 5 칸에 5!, 짝수 자리 4 칸에 4! — 패턴당 5! · 4! = 2880 가지.

#패턴당 = 5! · 4! = 120 · 24 = 2880

5STEP 5

유리 ÷ 전체 = 9 · 5! · 4! = 25920 을 9! = 362880 으로 나누면 $\frac{1}{14}$ .

P =

\frac{9 · 5! · 4!}{9!}

\frac{25920}{362880}

\frac{1}{14}

→ (B)

정답

\frac{1}{14}

다른 형태 검증:

\frac{9 · 5! · 4!}{9!}

\frac{9}{C(9, 4)}

\frac{9}{126}

\frac{1}{14}

. C(9, 4) = 126 은 9 칸 중 짝수 자리 4 칸을 고르는 경우, 그중 유리한 경우는 2 × 2 직사각형 (2 행 × 2 열 고르기 C(3, 2)C(3, 2) = 9) — 일치. (A)

\frac{1}{21}

, (C)

\frac{5}{63}

등은 행·열 독립 카운팅 실수 시 나올 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 홀짝과 세기만 알면 풀 수 있어요 — 짝수 4 개가 2 × 2 직사각형을 이뤄야 하므로 패턴 C(3, 2)C(3, 2) = 9, 확률 P = $\frac{9}{C(9, 4)}$ = $\frac{1}{14}$ . 답은 (B).

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