AMC 10 · 2019 · #3

학년 4 geometry-2d

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linear-equations-two-varsystems-of-equationsdifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystems-of-equations

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문제

아나(Ana)와 보니타(Bonita)는 같은 날 다른 해에 태어났고 아나가 n 살 더 많습니다. 작년에 아나의 나이는 보니타의 5 배였고, 올해 아나의 나이는 보니타의 나이의 제곱입니다. 나이 차이 n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

도구 #6(추측하고 확인): 올해 아나의 나이는 완전제곱수 — 작은 제곱수 (1, 4, 9, 16, 25, …) 를 차례로 시도하고 보니타는 그 제곱근. 각 후보를 '작년에 아나가 보니타의 5 배' 규칙에 맞춰 확인. 도구 #5(패턴): A, B 가 정해지면 n = A - B 자동 결정. 도구 #3(가능성 지우기): 작년 규칙 A - 1 = 5(B - 1) 에서 A - B = 4(B - 1) — 즉 n 은 반드시 4 의 배수. 선택지 중 (D) 12 만 4 의 배수 — 즉시 답이 보입니다.

1STEP 1

작은 완전제곱수를 올해 아나의 나이 후보로 나열하고, 각 제곱근이 보니타의 나이.

A = B² 후보: (A, B) = (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), …

2STEP 2

각 쌍을 작년 규칙 A - 1 = 5(B - 1) 에 넣으면 15 = 5 · 3 인 (16, 4) 만 일치.

(A, B) = (16, 4): A - 1 = 15, 5(B - 1) = 5 · 3 = 15 ✓

3STEP 3

아나 16 - 보니타 4 = 12 가 항상 같은 나이 차이 n, 선택지 (D).

n = A - B = 16 - 4 = 12 → (D)

4STEP 4

정리하면 A - B = 4(B - 1) — 나이 차는 4 의 배수여야 하고 12 만 통과, (D).

A - 1 = 5(B - 1) → A - B = 4(B - 1) → 4 ∣ n; 12 = 4 · 3 만 통과 → (D)

정답

아나 = 16, 보니타 = 4 로 두 단서를 모두 확인. 작년: 아나 15, 보니타 3, 15 = 5 · 3 — 맞음. 올해: 아나 16 = 4², 보니타의 나이의 제곱 — 맞음. 나이 차이는 매년 12 로 일정. 모두 일치하므로 n = 12 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "인수와 배수" 만 알면 풀 수 있어요 — 아나의 나이는 완전제곱수, 나이 차는 4 의 배수 — 그래서 16 과 4, 차이는 12 예요!

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