AMC 8 · 2006 · #11

학년 3 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumperfect-squaressystematic-enumerationdigit-constraints systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: digit-sumperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

두 자리 수(10 부터 99 까지) 가운데 각 자리 숫자의 합이 완전제곱수인 것은 몇 개인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 세기

도구 #14(극단을 살펴보기)로 보면 자릿수의 합은 1 이상 18 이하예요. 그러니 노려야 할 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 네 개뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 문제를 네 개의 작은 세기 문제로 쪼개고, 도구 #13(체계적으로 세기)으로 각 경우마다 t + u 가 목표값이 되는 (t, u) 쌍을 빠짐없이 적습니다(t ∈ {1, …, 9}, u ∈ {0, …, 9}). 네 결과를 더하면 답이 나옵니다.

1STEP 1

자릿수의 합은 1 부터 9 + 9 = 18 까지라, 노릴 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 뿐입니다.

1 ≤ t + u ≤ 18 → t + u ∈ {1, 4, 9, 16}

2STEP 2

t ≥ 1 이니 합이 1 인 쌍은 t = 1, u = 0 뿐, 수는 10 — 1 개.

t + u = 1: (1, 0) → {10} → 1 개

3STEP 3

t + u = 4 인 쌍은 (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) → 13, 22, 31, 40, 그래서 4 개.

t + u = 4: {13, 22, 31, 40} → 4 개

4STEP 4

t + u = 9 는 t = 1 부터 9 까지 모두 u = 9 - t 가 자릿수라 9 개 (18, 27, …, 90).

t + u = 9: {18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90} → 9 개

5STEP 5

t + u = 16 은 u = 16 - t ≤ 9 라 t ≥ 7: (7,9), (8,8), (9,7) → 79, 88, 97, 즉 3 개.

t + u = 16: {79, 88, 97} → 3 개

6STEP 6

네 개수를 더하면 1 + 4 + 9 + 3 = 17, 곧 선택지 (C).

1 + 4 + 9 + 3 = 17 → (C)

정답

각 경우를 소리 내어 다시 읽어 확인할 수 있어요 — 10; 13, 22, 31, 40; 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90; 79, 88, 97 — 서로 다른 수들이라 겹치지 않습니다. 합 1 + 4 + 9 + 3 = 17 은 선택지 (C) 와 일치합니다. 또 가운데 제곱수 9 가 가장 많은 수를 만들어 내는 것도 자연스러워요. 9 는 자릿수의 합 범위 [1, 18] 의 한가운데라 t ≥ 1 도, u ≤ 9 도 잘라 내는 경우가 없거든요.

💡핵심 정리

두 자리 수의 자릿수 합은 1 부터 18 까지만 가능해요. 그래서 쫓아야 할 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 네 개. 각각 세서 더하면 17 입니다.

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