경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2006 · #11
학년 3 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #14(극단을 살펴보기)로 보면 자릿수의 합은 1 이상 18 이하예요. 그러니 노려야 할 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 네 개뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 문제를 네 개의 작은 세기 문제로 쪼개고, 도구 #13(체계적으로 세기)으로 각 경우마다 t + u 가 목표값이 되는 (t, u) 쌍을 빠짐없이 적습니다(t ∈ {1, …, 9}, u ∈ {0, …, 9}). 네 결과를 더하면 답이 나옵니다.
자릿수 합 범위 잡기
자릿수의 합은 1부터 9 + 9 = 18 까지라, 노릴 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 뿐입니다.
1, 4, 9, 16, 25, … 를 떠올리는 건 3학년 곱셈구구(1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4) 그대로입니다. 25 부터는 자릿수의 합이 될 수 없어서 빼면 됩니다.
3.OA.C.7Extreme Principle합 1 세기
t ≥ 1 이니 합이 1 인 쌍은 t = 1, u = 0 뿐, 수는 10 — 1 개.
2학년 자릿값 그대로: 두 자리 수는 10t + u 이므로 두 자리만 정하면 수가 정해집니다. t ≥ 1이라 t = 1만 가능합니다.
2.NBT.A.1Convert To Algebra합 4 세기
t + u = 4 인 쌍은 (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) → 13, 22, 31, 40, 그래서 4 개.
3학년 패턴: t 가 1 씩 커지면 u 는 1 씩 작아집니다. t = 1부터 4까지 훑으면 끝이고, t = 5 부터는 u = -1이라 불가능합니다.
3.OA.D.9Convert To Algebra합 9 세기
t + u = 9는 t = 1부터 9까지 모두 u = 9 - t 가 자릿수라 9 개 (18, 27, …, 90).
패턴은 같지만 이번엔 9 - t 가 늘 {0, …, 8} 안에 들어가므로 t 의 9 개 값이 모두 살아납니다.
3.OA.D.9Convert To Algebra합 16 세기
t + u = 16은 u = 16 - t ≤ 9 라 t ≥ 7: (7,9), (8,8), (9,7) → 79, 88, 97, 즉 3 개.
같은 훑기인데, 이번엔 일의 자리 쪽에서 막힙니다. t = 6이면 u = 10이 되어 한 자리 수가 아니므로 t 는 7부터 시작.
자릿수의 합이 16인 두 자리 수는 정확히 세 개다.
▸ 왜?
이 수들을 세는 것은 t + u = 16을 만족하는 자리 쌍 (t, u)를 세는 것과 같다. 두 자리 수 하나가 이런 쌍 하나에 딱 대응하고, 쌍 하나가 수 하나에 딱 대응하기 때문이다.
▸ 왜?
두 자리 수는 10t + u, 즉 십의 자리 숫자를 열씩 센 것에 일의 자리 숫자를 더한 것이므로, 자리 쌍과 수는 남는 것 없이 서로를 결정한다.
▸ 왜?
수와 자리 쌍의 대응이 양쪽 모두 일대일이므로 두 무리의 크기는 같고, 한쪽을 세면 다른 쪽을 센 것이 된다.
▸ 왜?
이런 쌍은 정확히 세 개다. t는 1부터 9까지의 숫자여야 하고 u = 16 - t는 0부터 9까지의 숫자여야 하는데, 두 조건을 모두 만족하는 것은 t = 7, 8, 9뿐이기 때문이다.
▸ 왜?
t가 정해지면 일의 자리 숫자는 16에서 t를 뺀 나머지이므로 u = 16 - t이다 — 뺄셈이 덧셈 t + u = 16을 되돌린다.
▸ 왜?
일의 자리 숫자는 최대 9이다. 한 자리는 열 개가 모이면 다음 자리로 묶이기 때문이다. 따라서 u = 16 - t ≤ 9에서 t ≥ 7이 된다.
네 개수 더하기
네 개수를 더하면 1 + 4 + 9 + 3 = 17, 곧 선택지 (C).
2학년 덧셈으로 네 작은 문제의 답을 모으면 17, 그게 (C).
2.OA.B.2Identify Subproblems두 자리 수의 자릿수 합은 1부터 18 까지만 가능해요. 그래서 쫓아야 할 완전제곱수는 1, 4, 9, 16 네 개. 각각 세서 더하면 17입니다.
- 자릿수 합 범위 잡기
- 합 1 세기
- 합 4 세기
- 합 9 세기
- 합 16 세기
- 네 개수 더하기
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