경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2019A · #5
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #9(더 쉬운 문제): 더 작은 목표 합 5부터 시도. 음수를 끼워 대부분 항을 상쇄하는 요령이 보입니다 — -4, -3, …, 4, 5의 합이 5, 항 수는 10. 도구 #1(그림): 수직선 위에 -k 부터 +k 까지의 대칭 묶음은 합이 0, 거기에 꼬리 {k+1, …, 45}가 45를 책임지는 그림. 도구 #5(패턴 찾기): 작은 경우의 패턴을 일반화 — 합 S 이면 -(S - 1)부터 S 까지, 2S 개. S = 45 면 90. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지는 9, 25, 45, 90, 120. 45 이하는 음수를 쓰지 않은 것, 120은 상한 90을 넘어 불가능.
작은 목표로 연습하기
워밍업: -4, …, 4, 5는 (-k, k) 짝이 모두 상쇄돼 합이 5 — 항 수는 10 개.
음수가 양수와 짝지어 상쇄 — 살아남는 건 맨 위 수뿐.
음수와 양수가 짝지어 지워지므로, 살아남는 것은 맨 위의 수뿐이다.
▸ 왜?
어떤 수에 그 반대수를 더하면 아무것도 남지 않는다.
▸ 왜?
그 줄은 0을 중심으로 대칭이므로, 양 끝에서 안쪽으로 짝지으면 마지막 항 말고는 모두 지워진다.
규칙 일반화하기
일반화: 양의 목표 합 S 에 대해 -(S-1)부터 S 까지면 짝이 상쇄돼 합은 S, 항 수는 2S.
워밍업과 같은 패턴 — 합은 그대로, 길이는 두 배.
6.NS.C.6Look For A Pattern45에 적용하기
S = 45에 적용: -44부터 45 까지면 짝이 모두 상쇄돼 합은 45, 항 수는 45 - (-44) + 1 = 90.
워밍업과 같은 패턴, 크기만 커짐: -(S-1)부터 S 까지면 2S 항.
6.NS.C.6Look For A Pattern최대인지 확인하기
최댓값 확인: a 에서 n 개 연속 정수의 합은 n(2a + n - 1) = 90, 따라서 n 은 90의 약수 — 90 자신도 가능.
길이는 반드시 90의 약수 — 그리고 90 자신도 가능.
6.EE.B.7Solve An Easier Related Problem작은 선택지 지우기
나머지 제거: 9와 45는 90의 약수지만 더 작고, 25와 120은 90의 약수가 아니라 불가능 — 최댓값은 90.
선택지 중 90의 약수만 가능 — 가장 큰 건 90.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "수직선 위의 음수" 만 알면 풀 수 있어요 — -44부터 45까지 모으면 (-k, k) 짝이 모두 상쇄되고 45만 남아서 항 수는 90 이에요!
- 작은 목표로 연습하기
- 규칙 일반화하기
- 45에 적용하기
- 최대인지 확인하기
- 작은 선택지 지우기
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