AMC 10 · 2019 · #6

학년 4 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

perpendicular-bisectorline-symmetrycaseworksimilar-figures caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perpendicular-bisector

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

다섯 가지 사각형 종류 각각에 대해, 네 꼭짓점 모두로부터 같은 거리에 있는 점이 평면 위에 존재하는지 판단하고, 그런 사각형 종류가 몇 개인지 세시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

다섯 사각형을 직접 그리고(도구 #1), 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓일 수 있는지 확인. 도구 #7 로 전체 문제를 다섯 개의 작은 예/아니오 질문으로 쪼갠 뒤, 도구 #3 으로 예 개수를 세어 답을 결정.

1STEP 1

관점 바꾸기: 네 꼭짓점에서 같은 거리인 점이 있다 = 네 꼭짓점이 한 원 위. 즉 어떤 사각형이 원에 내접하는가?

PA = PB = PC = PD ⇔ A, B, C, D 는 P 를 중심으로 하는 원 위

2STEP 2

정사각형: 두 대각선이 중심에서 만나고, 그 중심은 네 꼭짓점에서 모두 같은 거리. 가능.

정사각형 중심 → 네 꼭짓점 모두 같은 거리

3STEP 3

직사각형: 대각선이 길이도 같고 서로 이등분 → 교점이 네 꼭짓점에서 모두 같은 거리. 가능.

직사각형 대각선은 길이 같고 이등분 → 중점이 네 꼭짓점에서 같은 거리

4STEP 4

마름모(정사각형 아님): 대각선이 수직이지만 길이가 달라, 교점이 두 꼭짓점엔 가깝고 나머지 둘엔 멀다. 불가능.

마름모 대각선 길이 다름 → 중심에서 거리 다름

5STEP 5

기운 평행사변형: 대각선 길이가 달라 어떤 점도 네 꼭짓점에 똑같이 닿지 못함. 불가능.

기운 평행사변형 대각선 길이 다름 → 균등한 점 없음

6STEP 6

등변사다리꼴: 좌우 대칭이라 대칭축 위 점을 위아래로 옮겨 위·아래 꼭짓점 거리를 맞출 수 있음. 가능.

대칭 사다리꼴 → 대칭축 위의 한 점이 네 꼭짓점에서 같은 거리

7STEP 7

가능한 것은 정사각형·직사각형·등변사다리꼴 — 5 개 중 3 개.

가능 개수 = 3 → (C)

정답

대각선으로 빠른 검산: 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 이등분하므로 교점이 외접원의 중심. 정사각형도 마찬가지. 마름모(정사각형 아님)·기운 평행사변형은 대각선 길이 다름. 등변사다리꼴은 좌우 대칭이라 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓이는 잘 알려진 성질을 가짐. 따라서 정확히 3 개 — (C) 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 도형 성질만 알면 풀 수 있어요 — 네 꼭짓점에서 같은 거리인 한 점이 있다는 건 네 꼭짓점이 한 원 위에 놓인다는 뜻. 정사각형·직사각형·등변사다리꼴은 통과, 마름모·기울어진 평행사변형은 탈락. 답은 3.

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