AMC 10 · 2019 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremisosceles-triangleinteger-pythagorean-triplesangle-sum-trianglesimilar-triangles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremisosceles-triangleangle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

직각삼각형 ABC 에서 직각은 C 에 있습니다. 점 D 는 빗변 AB 위에, 점 E 는 변 BC 위에 놓이고, AC = CD, DE = EB, AC : DE = 4 : 3 입니다. AD : DB 의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:3

(B)

$2:\sqrt{5}$

(C)

1:1

(D)

$3:\sqrt{5}$

(E)

3:2

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 두 개의 이등변삼각형, 한 직각삼각형, AB 위의 점 — 라벨 붙인 그림이 필수. 도구 #7 (쪼개기): (a) 두 이등변삼각형으로 BC 구하기, (b) C, E 에서 AB 로 수선 내리기로 AD, DB 읽기. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 비 4 : 3 대신 구체적 길이 AC = 4, DE = 3 으로 계산.

1STEP 1

비를 구체적 길이로: AC = 4, DE = 3, 따라서 CD = 4, EB = 3.

AC = CD = 4, DE = EB = 3

2STEP 2

두 이등변삼각형이 △ ABC 와 밑각을 공유해 ∠ ADC + ∠ EDB = 90°, D 에 남는 각이 ∠ CDE = 90°.

∠ CDE = 90°

3STEP 3

그래서 △ CDE 는 D 가 직각, 다리 4·3 인 3-4-5 삼각형 — 빗변 CE = 5.

CE = √(4² + 3²) = 5

4STEP 4

E 가 B 와 C 사이에 있으므로 BC = 8 (= CE + EB), AB = √(16 + 64) = 4√(5).

BC = 8, AB = 4√(5)

5STEP 5

이등변 △ ACD 에서 C 의 수선이 AD 를 이등분 → AD = 2·AC·cos∠CAB = $\frac{8}{√(5)}$ .

AD = 2 · AC ·

\frac{AC}{AB}

\frac{8}{√(5)}

6STEP 6

이등변 △ DEB 에서도 E 의 수선이 DB 를 이등분 → DB = 2·EB·cos∠EBD = $\frac{12}{√(5)}$ .

DB =

\frac{12}{√(5)}

7STEP 7

√(5) 분모가 소거: AD : DB = 8 : 12 = 2 : 3, 답은 (A).

AD : DB = 8 : 12 = 2 : 3

정답

2:3

확인: AD + DB 가 AB 와 같아야 함. AD + DB =

\frac{8}{√(5)}

\frac{12}{√(5)}

\frac{20}{√(5)}

= 4√(5) = AB — 일치. 2 : 3 도 기하적으로 자연 — AC = 4 ＜ BC = 8 이므로 짧은 다리 쪽인 A 쪽이 더 가까운 부분이 작음.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요 — D 에 숨어있는 3-4-5 직각삼각형을 찾고 큰 삼각형을 두 이등변 조각으로 쪼개면 AD : DB = 2 : 3. 답은 (A).

비슷한 유형 더 풀어보기