AMC 10 · 2019 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

divisor-countprime-factorizationcombinatorial-identityexponents complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisor-countprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

S 를 100,000 의 모든 양의 약수의 집합이라 하자. S 의 서로 다른 두 원소의 곱으로 표현되는 서로 다른 수는 모두 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

117

(D)

119

(E)

121

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 모든 후보 값(10¹⁰ 의 약수 11 · 11 = 121 개)을 나열한 후 서로 다른 두 약수의 곱으로 표현 불가능한 것을 빼기. 도구 #7 (쪼개기): 곱은 2^a · 5^b 형태이므로 "어떤 (a, b) 쌍이 도달 가능한가" 로 문제 분할. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 100 = 2² · 5² 같은 작은 경우로 먼저 확인.

1STEP 1

약수는 2^a·5^b (a,b ≤ 5) — 곱은 2¹⁰·5¹⁰ 의 약수, 후보 121 개.

후보 = 11 · 11 = 121

2STEP 2

2^A · 5^B 는 A, B 를 서로 다른 두 점 (a₁,b₁) ≠ (a₂,b₂) 의 좌표 합으로 쪼갤 때만 가능 (좌표 0~5).

a₁ + a₂ = A, b₁ + b₂ = B, 0 ≤ a_i, b_i ≤ 5, (a₁,b₁) ≠ (a₂,b₂)

3STEP 3

후보 1 은 A = B = 0, 두 약수 모두 1 로 강제 — 같은 약수 두 번이라 불가능.

2⁰ · 5⁰ = 1 (불가능 — (0,0) · (0,0) 로 강제)

4STEP 4

후보 2¹⁰ · 5¹⁰ = 10¹⁰ 은 a₁=a₂=5, b₁=b₂=5 강제 — 두 약수 모두 100,000, 불가능.

2¹⁰ · 5¹⁰ (불가능 — 둘 다 10⁵)

5STEP 5

후보 2¹⁰ 은 a₁=a₂=5, b₁=b₂=0 강제 — 두 약수 모두 32, 불가능.

2¹⁰ (불가능 — 둘 다 32)

6STEP 6

후보 5¹⁰ 은 대칭 경우 — 두 약수 모두 3,125 강제, 불가능.

5¹⁰ (불가능 — 둘 다 3125)

7STEP 7

다른 모든 (A, B) 는 서로 다른 쌍이 존재 — 불가능한 것은 네 모서리 4 개뿐.

불가능 = {(0,0), (10,0), (0,10), (10,10)}, |불가능| = 4

8STEP 8

빼기: 121 - 4 = 117. 답은 (C).

121 - 4 = 117

정답

117

117 은 선택지 100 과 119 사이, 정확히 121 - 4. 121 은 100,000² 의 약수 개수, 4 는 쌍둥이 분해만 가능한 모서리 개수. 작은 경우 확인: 100 = 2² · 5² 의 경우 — 약수 9 개, 후보 (2 · 2 + 1)² = 25, 같은 4 모서리 — 답 21 (직접 나열과 일치).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 6학년 때 배운 소인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 10⁵ 의 모든 약수는 2^a · 5^b 이므로 곱은 10¹⁰ 의 약수 121 개 중 하나, 네 "모서리" 만 서로 다른 쌍 조건 불충족. 121 - 4 = 117. 답은 (C).

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