AMC 10 · 2019 · #2
학년 4 number-theory prime-numbersprimality-testlogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersprimality-test
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
'n 이 소수가 아니면 n - 2 는 소수이다' 라는 주장을 봅니다. 다섯 선택지 중 이 주장을 깨는 n — 즉 n 도 소수가 아니고 n - 2 도 소수가 아닌 값 — 을 찾으세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
11
(B)
15
(C)
19
(D)
21
(E)
27
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3(가능성 지우기): 답은 두 조건을 모두 만족해야 함. 먼저 n 자체가 합성수여야 하니 소수인 선택지는 즉시 탈락 — 11 과 19 가 제거됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 남은 합성수 n 마다 n - 2 를 구해 소수 여부 확인. 유일한 생존자가 반례.
1STEP 1
첫 필터 — 소수 아닌 n 만 유지: 11, 19 는 소수라 탈락, 15, 21, 27 은 합성수라 생존.
11, 19 소수 → 탈락. 생존: 15, 21, 27.
n 이 소수면 주장의 'if' 부분이 거짓이라 깰 게 없음.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities2STEP 2
둘째 필터 — 각 생존자에서 2 빼기: 15 - 2 = 13, 21 - 2 = 19, 27 - 2 = 25; 각 결과의 소수 여부 확인.
15 - 2 = 13, 21 - 2 = 19, 27 - 2 = 25
각 생존자에서 2 를 빼고 결과를 확인.
4.NBT.B.4Make A Systematic List3STEP 3
소수 판별: 13, 19 는 소수(주장 성립), 25 = 5 · 5 는 합성수 — n = 27 이 주장을 깸.
13 소수, 19 소수, 25 = 5 · 5 합성수 → n = 27 → (E)
n - 2 가 합성수인 유일한 생존자가 주장을 깸.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
27
n = 27 로 반례 확인. 27 이 소수 아닌가? 맞음 — 27 = 3 · 9 = 3³, 합성수. 27 - 2 = 25 가 소수인가? 아님 — 25 = 5 · 5, 합성수. 즉 '소수 아님 → n - 2 소수' 의 전제는 참인데 결론이 거짓 — 반례의 정의 그대로. 다른 합성수 15, 21 은 n - 2 가 소수라 주장과 일치.
💡핵심 정리
이 AMC 10 문제는 사실 4학년 '소수와 합성수' 판별만 알면 풀 수 있어요 — 소수(11, 19) 부터 지우고 남은 합성수에서 2 를 뺀 결과가 처음으로 합성수가 되는 곳을 찾으면 27 - 2 = 25 = 5 · 5, 답은 (E)!