AMC 10 · 2019 · #21

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsequences-geometricpattern-recognitionsystematic-enumeration pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicsequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Debra 가 공정한 동전을 던져 H 두 번 연속(HH) 또는 T 두 번 연속(TT) 이 나오면 멈춥니다. HH 로 끝나면서 그 전에 '두 번째 T' 가 '두 번째 H' 보다 먼저 나올 확률은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{36}$

(B)

$\frac{1}{24}$

(C)

$\frac{1}{18}$

(D)

$\frac{1}{12}$

(E)

$\frac{1}{6}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (빠짐없이 나열): 가장 짧은 승리 수열부터 적음 (THHH 대신 THTHH, THTHTHH, ...) — 명확한 가족 형성. 도구 #3 (가능성 지우기): 첫 번째가 H 면 어떤 경우든 목표 사건 불가 → 첫 번째 T 고정. 도구 #5 (패턴): 승리 수열 모두 T(HT)^k HH 꼴 — 기하 패턴. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 무한 확률 합이 단순 기하급수 공식으로 환원.

1STEP 1

첫 번째가 H 면 목표 사건은 어느 쪽으로도 불가능 — 따라서 수열은 T 로 시작.

첫 번째 던지기 = T

2STEP 2

여기서 또 T 면 HH 없이 TT 로 종료 — 두 번째는 H 여야 하고 현재 상태는 TH.

1-2번째 = TH

3STEP 3

3번째 H 로 HH 종료면 T 가 하나뿐이라 단서 위배 — 3번째는 T, 상태 THT.

1-3번째 = THT

4STEP 4

4번째는 H (TT 는 패배) → THTH, 5번째 H 면 T·H 각 두 번으로 승리 — 최단 승리는 THTHH.

최단 승리 수열 = THTHH

5STEP 5

모든 승리 수열은 T(HT)^k HH (k ≥ 1), 길이 2k+3, 확률 $\frac{1}{8}$ ·( $\frac{1}{4}$ )^k.

P(T(HT)^k HH) = (

\frac{1}{2}

)²k+3 =

\frac{1}{8}

· (

\frac{1}{4}

)^k

6STEP 6

등비급수 합: 초항 $\frac{1}{32}$ , 공비 $\frac{1}{4}$ , 합 $\frac{\frac{1}{32}}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{1}{24}$ .

P = Σ_k=1^∞

\frac{1}{8}

(

\frac{1}{4}

)^k =

\frac{\frac{1}{32}}{1 - \frac{1}{4}}

\frac{1}{24}

7STEP 7

정답은 (B) $\frac{1}{24}$ .

\frac{1}{24}

정답

\frac{1}{24}

검증. 최단 승리 THTHH 의 확률 (

\frac{1}{2}

)⁵ =

\frac{1}{32}

≈ 0.0313. 목표 확률

\frac{1}{24}

≈ 0.0417 은 이 주된 항보다 약간 큼 — 더 긴 수열 (THTHTHH 의

\frac{1}{128}

, THTHTHTHH 의

\frac{1}{512}

, ...) 의 작은 기하 보정 누적과 일치. 또 동전 던지기는 'HH 로 끝남' vs 'TT 로 끝남' 의 두 대칭 절반으로 나뉘고, 각 절반 안에서 '두 번째 T 먼저' vs '두 번째 H 먼저' 의 두 부분으로 나뉨 — 우리의 목표는 'HH 끝 + 두 번째 T 먼저' 의 작은 모서리이므로

\frac{1}{24}

가 합리적.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 승리 패턴 (THTHH, THTHTHH, ...) 을 나열하고 각각이 이전의 $\frac{1}{4}$ 임을 보고 무한히 더하면 $\frac{1}{24}$ .

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