AMC 10 · 2019 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentconditional-probabilityinvariant-monovariant systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 명 (Raashan, Sylvia, Ted) 이 각각 1 로 시작. 매번 종이 울릴 때, 돈이 있는 사람들 모두 동시에 나머지 두 사람 중 한 명을 균등 무작위로 골라 1 을 줍니다. 종이 2019 번 울린 후 세 명이 모두 다시 1 씩 가질 확률은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{7}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 2019 가 부담 — 종 1 번, 2 번부터 풀어보고 답이 횟수에 의존하는지 확인. 도구 #2 (빠짐없이 나열): (1,1,1) 에서 출발하는 2 × 2 × 2 = 8 가지 결과 나열. 도구 #15 (다르게 정리): 6 가지 순서 있는 (2,1,0) 상태를 대칭으로 한 묶음. 도구 #5 (패턴): 전이 확률 계산 시, 어느 상태에서든 다음 단계 (1,1,1) 확률이 같음 → 횟수와 무관.

1STEP 1

2019 를 종 1 번으로 대체 — (1,1,1) 에서 각자 원형으로 이웃 둘 중 하나에게 줘 8 가지 동등 확률.

(1,1,1) 에서 결과 수 = 2 × 2 × 2 = 8

2STEP 2

세 명 모두 같은 회전 방향으로 줄 때만 (1,1,1) 유지 — 8 중 2 개라 복귀 $\frac{1}{4}$ , (2,1,0) 형 이동 $\frac{3}{4}$ .

P((1,1,1) → (1,1,1)) =

\frac{2}{8}

\frac{1}{4}

3STEP 3

(2,1,0) 에서는 돈 있는 둘만 줘서 2×2 = 4 가지, 그중 A→B, B→C 하나만 (1,1,1) 복귀 — 확률 $\frac{1}{4}$ .

P((2,1,0) → (1,1,1)) =

\frac{1}{4}

4STEP 4

핵심 패턴: (1,1,1) 이든 (2,1,0) 형이든 다음 종 후 (1,1,1) 확률은 똑같이 $\frac{1}{4}$ .

P(다음 = (1,1,1) ∣ 현재 어떤 상태든) =

\frac{1}{4}

5STEP 5

단계별 복귀 확률이 현재 상태와 무관하게 $\frac{1}{4}$ 이므로 종 1 번부터 2019 번까지 모두 동일 — 횟수는 무의미.

P(2019번 후) =

\frac{1}{4}

6STEP 6

정답 (B) $\frac{1}{4}$ .

\frac{1}{4}

정답

\frac{1}{4}

n = 1 검증: 8 중 2 가 (1,1,1) 로 복귀 → P =

\frac{1}{4}

✓. n = 2 검증: (1,1,1) 출발 → 확률

\frac{1}{4}

로 (1,1,1) 유지 후 또

\frac{1}{4}

로 복귀, 확률

\frac{3}{4}

로 (2,1,0) 이동 후

\frac{1}{4}

로 복귀. 총

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

\frac{3}{4}

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

✓. 선택지에

\frac{1}{4}

있고 n 의존 없음 — AMC '큰 수는 함정' 스타일과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 확률 나열만 있으면 풀려요 — (1,1,1) 의 8 결과와 (2,1,0) 의 4 결과를 보면 둘 다 다음에 (1,1,1) 될 확률이 $\frac{1}{4}$ 이므로 2019 는 의미 없음 — 답은 $\frac{1}{4}$ .

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