AMC 10 · 2019 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremcoordinate-geometrychord-perpendicular-from-centerperpendicular-bisectorarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

점 A = (6, 13) 과 B = (12, 11) 이 원 ω 위에 있다. ω 의 A, B 에서의 접선이 x 축 위의 한 점 P 에서 만난다. ω 의 넓이는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{83\pi}{8}$

(B)

$\frac{21\pi}{2}$

(C)

$\frac{85\pi}{8}$

(D)

$\frac{43\pi}{4}$

(E)

$\frac{87\pi}{8}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 원·두 접점·x 축의 외부점을 그리면 |PA| = |PB| 와 △ OAP 직각이 한눈에 보임. 도구 #7 (쪼개기): (a) |PA| = |PB| 로 P 찾기, (b) |PA| 계산, (c) 직각삼각형/Ptolemy 로 r, |PA|, |PO| 관계, (d) r² 해결. 도구 #13 (대수): 각 단계는 짧은 대수 (선형 방정식, 거리 제곱, 피타고라스, Ptolemy).

1STEP 1

A, B, 원 ω, x 축의 P = (t, 0) 에서 만나는 두 접선, 중심 O 를 그리고 A, B 에서 직각 표시.

P = (t, 0), OA ⊥ PA, OB ⊥ PB

2STEP 2

접선 길이가 같아 (t - 6)² + 169 = (t - 12)² + 121, 정리하면 12t = 60, 그래서 t = 5.

(t-6)² + 169 = (t-12)² + 121 → 12t = 60 → t = 5

3STEP 3

그러면 |PA|² = (6 - 5)² + 13² = 170, |PB|² = 49 + 121 = 170 으로 확인돼요.

|PA|² = |PB|² = 170

4STEP 4

현 |AB| = 2√(10) (36 + 4 = 40); 중점 M = (9, 12), |PM|² = 160 이라 |PM| = 4√(10).

|AB| = 2√(10), |PM| = 4√(10)

5STEP 5

PAOB 는 원에 내접한 연꼴 (A, B 직각)이라 Ptolemy 로 2√(170)·r = PO·2√(10), 따라서 PO = r√(17).

2 √(170) · r = PO · 2√(10) → PO = r√(17)

6STEP 6

직각삼각형 OAP 에 피타고라스: (r√(17))² = r² + 170, 즉 16r² = 170, 그래서 r² = $\frac{85}{8}$ .

17 r² = r² + 170 → r² =

\frac{85}{8}

7STEP 7

넓이 = π r² = $\frac{85\pi}{8}$ , 정답 (C).

넓이 = π r² =

\frac{85\pi}{8}

정답

\frac{85\pi}{8}

독립 좌표 계산으로 검증. 중심 O 는 AB 의 수직이등분선 위. AB 의 기울기 -

\frac{1}{3}

, 수직이등분선 기울기 3, M = (9, 12) 지남: y = 3x - 15. 중심은 PM 직선 위에도 있고, P = (5, 0) 와 M = (9, 12) 잇는 직선 또한 y = 3x - 15 ✓ (같은 선 — P, M, O 공선). 또 O 는 A 를 지나며 PA 와 수직인 직선 위. PA 방향 (1, 13), 수직 (-13, 1). A = (6, 13) 에서 매개변수 (6 - 13s, 13 + s). y = 3x - 15 에 대입: 13 + s = 3(6 - 13s) - 15 = 3 - 39s, 40s = -10, s = -

\frac{1}{4}

. O = (

\frac{37}{4}

\frac{51}{4}

). r² = (

\frac{37}{4}

- 6)² + (

\frac{51}{4}

- 13)² = (

\frac{13}{4}

)² + (-

\frac{1}{4}

)² =

\frac{170}{16}

\frac{85}{8}

✓. 같은 값. 넓이 =

\frac{85\pi}{8}

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스와 '반지름 ⟂ 접선' 만 알면 풀려요 — |PA| = |PB| 일차방정식으로 P = (5, 0), |PA|² = 170 계산, 직각삼각형/Ptolemy 관계로 16 r² = 170, 넓이는 $\frac{85\pi}{8}$ .

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