경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2019B · #6

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

factorialpolynomial-factoringfactorsdigit-sum pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: factorialpolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

(n+1)! + (n+2)! = n! · 440 을 만족하는 양의 정수 n 을 찾고, 그 n 의 자리수의 합을 구함.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

팩토리얼이 무서워 보여도 세 항 모두 n! 을 공통으로 품고 있음. n! 을 통째로 빼내면 (도구 #9로 식 단순화) 모양이 드러나고 (도구 #5: 두 정수의 곱), 적당한 값을 시도해 (도구 #6) 답안 자리수 합으로 확인 (도구 #3).

1STEP 1

공통 팩토리얼 묶어내기

세 항 모두 같은 n! 을 품으니 식 전체에서 공통 n! 을 빼냄.

(n+1)!+(n+2)! = n![(n+1)+(n+2)(n+1)]

2STEP 2

n 팩토리얼 약분하기

양변을 n! 으로 약분하면 남는 식은 (n+1)(n+3) = 440 으로 인수분해됨.

(n+1) + (n+2)(n+1) = 440 → (n+1)[1+(n+2)] = 440 → (n+1)(n+3) = 440

3STEP 3

440의 두 인수 찾기

2 차이 나는 두 인수의 곱이 440; √440 ≈ 21 근처의 짝 20 × 22 가 맞음.

20 × 22 = 440 ✓

4STEP 4

짝을 n에 맞추기

n+1 = 20으로 놓으면 (n+3 = 22도 일치) n = 19.

n + 1 = 20 → n = 19

5STEP 5

자릿수 더하기

n = 19의 자리수는 1 + 9 = 10, 즉 (C).

1 + 9 = 10 → (C)

정답

검산: (19+1)!+(19+2)! = 20! + 21! = 20!·(1+21) = 20! · 22, 19! · 440 = 19! · 20 · 22 = 20! · 22. 양변 일치. n=19 확정, 자리수 합 10은 (C).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 두 항에서 n! 을 빼내면 (n+1)(n+3)=440, 20 × 22가 보이니 n=19, 자리수 합은 10.

공통 팩토리얼 묶어내기
n 팩토리얼 약분하기
440의 두 인수 찾기
짝을 n에 맞추기
자릿수 더하기

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공통 팩토리얼 묶어내기

n 팩토리얼 약분하기

440의 두 인수 찾기

짝을 n에 맞추기

자릿수 더하기

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