AMC 8 · 2016 · #19

학년 6 arithmeticalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangepattern-recognition easier-related-problempattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmean-median-mode-range

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문제

연속하는 짝수 25 개, 즉 ..., n-4, n-2, n, n+2, n+4, ... 형태로 늘어놓은 정수들의 합이 10,000 입니다. 이 중 가장 큰 수는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$mbox{ }360$

(B)

$mbox{ }388$

(C)

$mbox{ }412$

(D)

$mbox{ }416$

(E)

$mbox{ }424$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

연속 짝수 25 개를 일일이 나열하기는 벅찹니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 3 개나 5 개를 먼저 더해 보면 "합 = 개수 × 가운데 항" 이라는 규칙이 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 규칙을 그대로 적용하면 가운데 항이 10,000 ÷ 25 = 400 으로 단번에 나오죠. 마지막은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가운데 항 구하기 → 거기서 12 칸 오른쪽으로 +2 씩 이동" 두 단계로 나눠 가장 큰 항에 도달합니다. 도구 #13(대수) 을 꺼낼 필요가 전혀 없습니다.

1STEP 1

작은 경우로 확인: 4+6+8 = 3×6, 2+4+6+8+10 = 5×6. 규칙은 홀수 개 균등 간격이면 합 = 개수 × 가운데 항.

4 + 6 + 8 = 18 = 3 × 6, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 5 × 6

2STEP 2

항이 25 개로 홀수라 합 = 25 × 가운데 항. 나누면 10,000 ÷ 25 = 400 이 가운데 항.

가운데 항 =

\frac{10,000}{25}

= 400

3STEP 3

25 개의 한가운데는 13 번째 항 (양옆에 12 개씩). 그래서 13 번째 항이 400.

\frac{25 + 1}{2}

= 13

4STEP 4

13 번째에서 25 번째까지 12 칸, 한 칸마다 +2 라 가장 큰 항 = 400 + 24 = 424 (E).

가장 큰 항 = 400 + 12 × 2 = 400 + 24 = 424 → (E)

정답

mbox{ }424

가장 작은 항도 같이 확인합니다. 400 - 12 × 2 = 376 이니 수열은 376, 378, …, 424. 양 끝부터 짝지으면 376 + 424 = 800, 가운데 400 을 빼면 12 쌍이 남고 모두 800. 합 = 12 × 800 + 400 = 9600 + 400 = 10,000. ✓ 답 424 는 보기 중 가장 큰 값이고, 가운데가 깔끔한 400 이라는 점과도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

균등 간격으로 늘어선 수가 홀수 개라면, 평균이 바로 가운데 수예요 — 6학년에서 배우는 이 사실 하나로 AMC 8 문제가 나눗셈 한 번에 풀립니다!

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