경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2016 · #19
학년 6 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
연속 짝수 25 개를 일일이 나열하기는 벅찹니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 3 개나 5 개를 먼저 더해 보면 "합 = 개수 × 가운데 항" 이라는 규칙이 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 이 규칙을 그대로 적용하면 가운데 항이 10,000 ÷ 25 = 400으로 단번에 나오죠. 마지막은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "가운데 항 구하기 → 거기서 12 칸 오른쪽으로 +2 씩 이동" 두 단계로 나눠 가장 큰 항에 도달합니다. 도구 #13(대수)을 꺼낼 필요가 전혀 없습니다.
짧은 짝수 묶음으로 해보기
작은 경우로 확인: 4+6+8 = 3×6, 2+4+6+8+10 = 5×6. 규칙은 홀수 개 균등 간격이면 합 = 개수 × 가운데 항.
가운데 항을 중심으로 양옆이 짝지어 상쇄된다는 사실을 작은 예에서 먼저 확인하는 것은 3학년 "연산 성질" 활동 그대로입니다.
3.OA.B.5Solve An Easier Related Problem가운데 항 구하기
항이 25 개로 홀수라 합 = 25 × 가운데 항. 나누면 10,000 ÷ 25 = 400 이 가운데 항.
홀수 개의 균등 간격 수열에서는 평균과 가운데 값이 같다는 것은 6학년 통계 개념입니다.
연속한 짝수 25개의 가운데 항은 전체 10,000을 25로 똑같이 나눈 값, 즉 400이다.
▸ 왜?
일정한 간격의 25개 항은 정확히 가운데 항의 25배로 더해지므로, 전체를 25등분하면 가운데 항 하나가 되돌아온다.
▸ 왜?
항들은 가운데를 중심으로 12쌍의 대칭 짝으로 나뉘고, 각 짝은 가운데 항 두 개의 합과 같아 24개가 되며, 남은 가운데 항 하나를 더하면 25개가 된다.
▸ 왜?
각 대칭 짝에서 한 항은 가운데보다 위로 떨어진 만큼 그 짝은 아래로 떨어져 있어, 위쪽의 남는 양이 아래쪽의 모자란 양을 정확히 채워 짝이 가운데 항 두 개로 균형을 이룬다.
▸ 왜?
위쪽 항의 남는 양을 아래쪽 항의 모자란 자리로 넘겨줘도 둘을 합친 양은 그대로다 — 전체를 두 부분으로 어떻게 나누든 전체는 변하지 않는다.
▸ 왜?
위쪽 항은 가운데보다 크기 2짜리 걸음 몇 번만큼 위에 있고 그 대칭 짝은 같은 횟수의 크기 2짜리 걸음만큼 아래에 있어, 둘 다 가운데에서 같은 거리에 있다.
▸ 왜?
전체를 25등분하는 것은 한 부분에 25를 곱한 것을 되돌리는 일이다 — 나눗셈은 곱셈을 거꾸로 하기 때문이다.
가운데 자리 찾기
25 개의 한가운데는 13 번째 항 (양옆에 12 개씩). 그래서 13 번째 항이 400.
전체 개수를 "가운데보다 앞 / 가운데 / 가운데보다 뒤" 로 쪼개는 것은 4학년 수열 위치 감각입니다.
4.OA.C.5Identify Subproblems가장 큰 항까지 올라가기
13 번째에서 25 번째까지 12 칸, 한 칸마다 +2 라 가장 큰 항 = 400 + 24 = 424 (E).
공차를 12 번 더해서 13 번째 항에서 25 번째 항까지 이동하는 것은 4학년 "규칙에 따라 수 만들기" 의 건너뛰며 세기 그대로입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern균등 간격으로 늘어선 수가 홀수 개라면, 평균이 바로 가운데 수예요 — 6학년에서 배우는 이 사실 하나로 AMC 8 문제가 나눗셈 한 번에 풀립니다!
- 짧은 짝수 묶음으로 해보기
- 가운데 항 구하기
- 가운데 자리 찾기
- 가장 큰 항까지 올라가기
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