AMC 10 · 2019 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

equilateral-trianglethirty-sixty-ninety-trianglearea-trianglesarea-rectanglespythagorean-theorem area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-trianglearea-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 정사각형의 네 변마다 한 변씩을 변으로 공유하는 정삼각형 네 개가 안쪽으로 그려져 있고, 모든 정삼각형의 변 길이는 2. 네 정삼각형의 꼭짓점이 정사각형의 중심에서 만남. 정사각형 안이지만 네 정삼각형 바깥인 영역 (음영) 의 넓이를 구함.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$12 - 4\sqrt{3}$

(C)

$3\sqrt{3}$

(D)

$4\sqrt{3}$

(E)

$16 - 4\sqrt{3}$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

음영은 모양이 까다롭지만 (정사각형) − (네 정삼각형) 으로 셈할 수 있음 — 도구 #16 으로 여집합 셈. (a) 정삼각형 높이로 정사각형 한 변, (b) 정사각형 넓이, (c) 정삼각형 한 개 넓이, (d) 차이 — 네 소문제로 쪼갬 (도구 #7). 도구 #1 로 그림 추적.

1STEP 1

변 2 정삼각형에 수직선을 내리면 30-60-90 반쪽이 나와 높이는 √(3).

h = √(4 - 1) = √(3)

2STEP 2

꼭짓점이 모두 중심에 있어 중심-변 거리 √(3) 은 한 변의 절반, 정사각형 한 변은 2√(3).

한 변 = 2 · √(3) = 2√(3)

3STEP 3

그 한 변을 제곱하면 정사각형 넓이는 12.

A_정사각형 = (2√(3))² = 4 · 3 = 12

4STEP 4

각 정삼각형 넓이는 √(3), 겹치지 않는 네 개의 합은 4√(3).

A_△ 합 = 4 · √(3) = 4√(3)

5STEP 5

정사각형에서 네 정삼각형을 빼면 음영 넓이 12 - 4√(3) 이 남습니다.

A_음영 = 12 - 4√(3) → (B)

6STEP 6

수치로 4√(3) ≈ 6.93 이라 음영 ≈ 5.07 — 12 의 약 42% 로 모서리 주머니와 맞음.

12 - 4√(3) ≈ 5.07 → (B)

정답

12 - 4√(3)

4√(3) ≈ 6.93 ＜ 12 이라 음영은 양수, 정사각형보다 작음 — 합당. 정삼각형 넷이 약 58% 를 채우고, 남은 부분은 모서리 네 곳의 작은 연꼴 (kite) 주머니. 12 - 4√(3) 은 (B). 4 나 4√(3) 같은 선택지는 정삼각형 한 개 또는 네 개 자체 — 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스만 알면 풀 수 있어요 — 정삼각형 높이가 √(3) 이라 정사각형 한 변은 2√(3), 넓이 12. 네 정삼각형이 4√(3) 을 차지하니 음영은 12 - 4√(3).

비슷한 유형 더 풀어보기