AMC 10 · 2020 · #10

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

surface-areaspatial-visualizationperfect-squaressequences-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: surface-areaspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

부피가 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343 세제곱 단위인 정육면체 일곱 개를 가장 큰 것이 맨 아래, 가장 작은 것이 맨 위가 되도록 수직으로 쌓는다. 각 위 정육면체는 아래 정육면체 위에 밑면이 완전히 놓인다. 탑 전체의 겉넓이를 (바닥면 포함) 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

644

(B)

658

(C)

664

(D)

720

(E)

749

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

탑의 표면은 세 조각으로 자연스레 분해됨: (a) 모든 정육면체의 옆면 네 개씩, (b) 위에서 내려다봤을 때 보이는 윗면, (c) 맨 아래 바닥면 한 개. 도구 #7 로 세 부분 문제 분리. 도구 #17 (공간 상상하기) 가 (b) 의 핵심 통찰 — 위에서 정확히 내려다보면 보이는 윗면은 가장 큰 정육면체의 윗면 7 × 7 과 같음 (작은 정육면체들이 아래 정육면체의 일부만 가리고 나머지는 그대로 보임). 도구 #5 (패턴) 로 옆넓이 합 4(1² + … + 7²) = 560 정리. 도구 #3 으로 보기와 매칭.

1STEP 1

각 부피의 세제곱근을 구하면 한 변은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

s_k = sqrt[3]{k³} = k (k = 1, 2, …, 7)

2STEP 2

정육면체마다 옆면 4개(넓이 s²), 옆넓이 합은 4(1² + … + 7²) = 4 · 140 = 560.

L = 4(1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7²) = 4 · 140 = 560

3STEP 3

바로 위에서 보면 실루엣은 가장 큰 정육면체의 윗면 7 × 7 뿐이라 노출 윗면 넓이는 49.

T = 1² + (2² - 1²) + (3² - 2²) + … + (7² - 6²) = 7² = 49

4STEP 4

바닥면은 가장 큰 정육면체의 밑면, 7 × 7 = 49.

B = 7² = 49

5STEP 5

세 부분을 더하면 560 + 49 + 49 = 658.

총= L + T + B = 560 + 49 + 49 = 658

6STEP 6

658 은 (B).

658 → (B)

정답

658

윗면 묘기에 대한 빠른 확인. 만약 각 정육면체의 윗면 전체를 따로따로 다 세었다면 1² + 2² + … + 7² = 140 을 더해 560 + 140 + 49 = 749, 정확히 보기 (E) — 전형적인 함정. 하지만 위 정육면체가 아래 정육면체의 일부를 가리므로 노출 윗면은 실루엣 7 × 7 = 49. 560 + 49 + 49 = 658 은 644 (바닥 누락) 과 664 (바닥 중복) 사이에 깔끔히 들어가 (B) 가 맞음.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 세제곱근과 6학년 겉넓이 개념만 알면 풀 수 있어요 — 한 변 길이 1 ∼ 7, 옆면 띠 합 4 · 140 = 560, 위에서 본 실루엣 7 × 7 = 49, 그래서 총 겉넓이 = 560 + 49 + 49 = 658.

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