AMC 10 · 2020 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglescentroid-2-to-1isosceles-trianglespatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

AM = AC 인 이등변삼각형 △ AMC 에서, 두 중선 MV (M 에서 AC 의 중점 V 로) 와 CU (C 에서 AM 의 중점 U 로) 가 서로 수직이고 각각 길이 12 입니다. △ AMC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

144

(E)

192

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): △ AMC 와 두 중선 MV, CU 를 그리고, 교점을 P(무게중심)로 표시한 뒤 그 자리에 직각 표시. 도구 #7(쪼개기): 전체 삼각형 넓이를 한 번에 구하지 말고 (a) 무게중심 2:1 비율로 MP, CP 길이를 얻고, (b) 직각을 낀 작은 삼각형 △ MPC 의 넓이를 구한 다음, (c) "무게중심이 만든 세 작은 삼각형의 넓이가 같다" 는 성질로 △ AMC 까지 확장. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 값을 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

△ AMC 에 두 중선 MV, CU 를 그리면 무게중심 P 에서 만나고, 거기서 ∠ MPC = 90°, MV = CU = 12.

P = MV ∩ CU, ∠ MPC = 90°, MV = CU = 12

2STEP 2

각 중선에 무게중심 2:1: 긴 쪽은 $\frac{2}{3}$ ·12 라서 MP = CP = 8 (짧은 쪽 PV = PU = 4).

MP =

\frac{2}{3}

(12) = 8, CP =

\frac{2}{3}

(12) = 8

3STEP 3

삼각형 △ MPC 는 두 변 MP = 8, CP = 8 이 P 에서 직각을 이뤄 넓이가 $\frac{1}{2}$ ·8·8 = 32.

[MPC] =

\frac{1}{2}

· MP · CP =

\frac{1}{2}

· 8 · 8 = 32

4STEP 4

무게중심의 선분 PA, PM, PC 가 △ AMC 를 넓이 같은 삼각형 셋으로 나눠 [AMC] = 3·32 = 96.

[AMC] = 3 · [MPC] = 3 · 32 = 96

5STEP 5

선택지 중 96 은 (C) 뿐. 나머지는 $\frac{2}{3}$ 인수 빠뜨림(48, 72, 144)이나 3 배 대신 2 배(192)의 결과.

[AMC] = 96 → (C)

정답

직관 점검: 두 중선이 길이 12 로 서로 직각인 삼각형의 넓이는 위치를 옮겨도 그대로. 잘 알려진 "삼각형의 넓이 =

\frac{4}{3}

× (세 중선으로 만든 삼각형의 넓이)" 지름길에서, 여기 중선 삼각형은 두 변이 12, 12 이고 90° 를 끼므로 넓이

\frac{1}{2}

· 12 · 12 = 72. 따라서 [AMC] =

\frac{4}{3}

· 72 = 96. ✓ 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이만 알면 풀 수 있어요! 두 중선이 무게중심 P 에서 만나고, 무게중심은 각 중선의 $\frac{2}{3}$ 를 가져가므로 MP = CP = $\frac{2}{3}$ · 12 = 8. ∠ MPC = 90° 이라 작은 삼각형 MPC 의 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 8 · 8 = 32. 무게중심이 전체 삼각형을 넓이가 같은 세 조각으로 나누니까 [AMC] = 3 · 32 = 96, 답 (C).

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