AMC 10 · 2020 · #13

학년 7 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentcoordinate-geometryrecursive-sequencesystems-of-equations symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basiccoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꼭짓점이 (0,0), (4,0), (4,4), (0,4) 인 정사각형 안의 (1, 2) 에서 개구리가 출발합니다. 매 점프마다 상·하·좌·우 네 방향 중 하나를 각각

\frac{1}{4}

확률로 골라 한 칸 이동하고, 정사각형의 변 위에 처음 도착하면 멈춥니다. 멈춘 변이 수직 변(x=0 또는 x=4)일 확률은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac12$

(B)

$\frac 58$

(C)

$\frac 23$

(D)

$\frac34$

(E)

$\frac 78$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 정사각형 안의 5 × 5 격자점을 그리고 시작점 (1, 2) 와 네 변을 표시. 도구 #15(다르게 정리): 정사각형의 대칭(반사)을 이용 — x ⇔ y 를 바꾸면 수직 변이 수평 변으로 바뀌므로 P_V(x,y) = 1 - P_V(y,x). 도구 #7(쪼개기): (1,2) 에서 한 번 점프하면 (0,2), (2,2), (1,1), (1,3) 중 하나로 가니까 각 부분 확률을 구한 뒤 전확률 법칙으로 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 분수를 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

격자점을 그리고 시작점 (1, 2) 를 찍은 뒤, 수직 변 x = 0, x = 4 도 표시.

시작 = (1, 2), 수직 변: x = 0, x = 4

2STEP 2

y = x 대칭이 수직·수평 출구를 맞바꾸니 대각선 위 점은 모두 반반: P_V(1,1) = P_V(2,2) = $\frac{1}{2}$ .

P_V(x,x) =

\frac{1}{2}

→ P_V(1,1) = P_V(2,2) =

\frac{1}{2}

3STEP 3

x = 2 대칭은 수직 변을 그대로 두므로 반대각선도 고정: P_V(1, 3) = $\frac{1}{2}$ .

P_V(1, 3) = 1 - P_V(3, 1) = 1 -

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

4STEP 4

첫 점프를 네 경우(각 $\frac{1}{4}$ )로 분할: P(1,2) = $\frac{1}{4}$ [P(0,2) + P(2,2) + P(1,3) + P(1,1)].

P(1,2) =

\frac{1}{4}

[P(0,2) + P(2,2) + P(1,3) + P(1,1)]

5STEP 5

네 값을 읽기: P(0,2) = 1 (x = 0 위), 나머지는 P(2,2) = P(1,3) = P(1,1) = $\frac{1}{2}$ (대각선 위).

P(0,2) = 1, P(2,2) = P(1,3) = P(1,1) =

\frac{1}{2}

6STEP 6

합산: P(1,2) = $\frac{1}{4}$ (1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{4}$ · $\frac{5}{2}$ = $\frac{5}{8}$ .

P(1,2) =

\frac{1}{4}

\frac{5}{2}

\frac{5}{8}

7STEP 7

$\frac{5}{8}$ 을 선택지와 매칭: (B). 다른 값들은 시작점이 수직 변에 더 가깝다는 점을 무시한 결과.

\frac{5}{8}

→ (B)

정답

\frac{5}{8}

출발점 (1, 2) 는 가장 가까운 수직 변에서 한 칸, 수평 변에서 두 칸 떨어져 있으므로 답은

\frac{1}{2}

보다 살짝 크되 크게 벗어나면 안 됨. 실제

\frac{5}{8}

= 0.625 는

\frac{1}{2}

바로 위 — 한쪽 수직 변에 가까운 정도와 잘 맞는 적당한 우위.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! y = x 대칭이 수직 변과 수평 변을 맞바꿔주니까 (1, 1), (2, 2), (1, 3) 같은 대각선 위 점에서는 강제로 P = $\frac{1}{2}$ . (1, 2) 에서 한 번 점프하면 네 경우 — (0, 2) 는 바로 승리(P = 1), 나머지 셋은 대각선(P = $\frac{1}{2}$ 씩). 평균: $\frac{1}{4}$ (1 + $\frac{3}{2}$ ) = $\frac{5}{8}$ , 답 (B).

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