AMC 10 · 2020 · #15

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

factorialprime-factorizationdivisor-countperfect-squareslegendre-formulaprobability-basic identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

12! 의 양의 약수 하나를 무작위로(모든 약수가 동일 확률) 뽑습니다. 뽑힌 약수가 완전제곱수일 확률이 서로소인 양의 정수 m, n 에 대해

\frac{m}{n}

일 때, m + n 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): (1) 12! 의 소인수분해, (2) 총 약수 개수, (3) 완전제곱 약수 개수, (4) 확률과 m + n — 네 개의 작은 문제로 분리. 도구 #2(나열하기): 12 이하 소수 2, 3, 5, 7, 11 를 순서대로 적고, 각 소수마다 허용되는 지수 범위 + "짝수만" 가능한 작은 목록을 같이 적기. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 m + n 을 선택지와 매칭.

1STEP 1

르장드르 공식으로 12! 안 각 소수의 지수를 세면 2¹⁰ · 3⁵ · 5² · 7¹ · 11¹.

12! = 2¹⁰ · 3⁵ · 5² · 7¹ · 11¹

2STEP 2

약수는 각 지수를 독립적으로 고르니 총 약수 개수는 11 · 6 · 3 · 2 · 2 = 792.

#약수 = (10+1)(5+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 11 · 6 · 3 · 2 · 2 = 792

3STEP 3

완전제곱 약수는 모든 지수가 짝수여야 하니 짝수 선택지를 곱하면 6 · 3 · 2 · 1 · 1 = 36.

#완전제곱 약수 = 6 · 3 · 2 · 1 · 1 = 36

4STEP 4

확률은 $\frac{36}{792}$ 이고 약분하면 $\frac{1}{22}$ 이라 m = 1, n = 22.

\frac{36}{792}

\frac{1}{22}

, gcd(1, 22) = 1

5STEP 5

더하면 m + n = 1 + 22 = 23.

m + n = 1 + 22 = 23

6STEP 6

23 과 같은 선택지는 (E) 하나뿐 — 나머지는 인수 누락, 약분 실수, 조기 종료에서 나와요.

m + n = 23 → (E)

정답

직관 점검:

\frac{1}{22}

≈ 4.5% 라는 작은 확률은 자연스러움 — 다섯 소수 모두에 대해 지수가 "짝수일 확률" 이 곱해지기 때문. 깔끔한 식으로: 각 소수 p_i 가 (⌊ a_i/2 ⌋ + 1)/(a_i + 1) 의 인수를 기여. 지수 (10, 5, 2, 1, 1) 에 대해

\frac{6}{11}

\frac{3}{6}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{6 · 3 · 2}{11 · 6 · 3 · 2 · 2}

\frac{1}{22}

. ✓ 일치. m + n = 23.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! 12! = 2¹⁰ · 3⁵ · 5² · 7 · 11. 총 약수: 11 · 6 · 3 · 2 · 2 = 792. 완전제곱 약수는 모든 지수가 짝수, 그래서 각 범위의 짝수 개수: 6 · 3 · 2 · 1 · 1 = 36. 확률 = $\frac{36}{792}$ = $\frac{1}{22}$ , 그래서 m + n = 1 + 22 = 23, 답 (E).

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