AMC 10 · 2020 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

geometric-probabilityarea-circlesspatial-visualizationestimation easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꼭짓점이 (0,0), (2020,0), (2020,2020), (0,2020) 인 큰 정사각형 안에서 점 하나를 무작위로 고릅니다. 격자점은 두 좌표가 모두 정수인 점입니다. 그 점이 어떤 격자점으로부터 거리 d 이내에 있을 확률이 정확히

\frac{1}{2}

일 때, d 를 소수점 첫째 자리까지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.3

(B)

0.4

(C)

0.5

(D)

0.6

(E)

0.7

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 2020 × 2020 정사각형은 2020² 개의 1 × 1 단위 정사각형이 똑같이 반복된 것이고, 네 모서리 격자점 주변 규칙도 모든 칸에서 동일합니다. 따라서 큰 정사각형 대신 단위 정사각형 하나에서 확률을 구하면 됩니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 단위 정사각형 안에서 유효 영역은 네 모서리에 있는 반지름 d 의 사분원 네 개 — 합치면 반지름 d 인 원 한 개의 넓이 π d² 가 됩니다. 도구 #3 (가능성 지우기): π d² = $\frac{1}{2}$ 에서 d² = $\frac{1}{2π}$ ≈ 0.159 — 다섯 선택지를 제곱해서 0.159 에 가장 가까운 것을 고릅니다.

1STEP 1

격자 규칙은 2020² 개의 단위 칸마다 똑같아서, 큰 정사각형의 확률은 단위 정사각형 하나의 확률과 같습니다.

P_big = P_unit

2STEP 2

단위 정사각형에선 네 꼭짓점만 중요 — 사분원 넷이 모여 넓이 π d² 인 온전한 원 하나 (d ≤ 0.5).

A_good = 4 ·

\frac{1}{4}

π d² = π d²

3STEP 3

단위 정사각형 넓이는 1 이라 P = π d²; 이를 주어진 $\frac{1}{2}$ 로 놓으면 d² = $\frac{1}{2π}$ .

P =

\frac{π d²}{1}

\frac{1}{2}

→ d² =

\frac{1}{2π}

4STEP 4

$\frac{1}{2π}$ ≈ 0.159 이므로 선택지를 제곱하면 d² = 0.16 이 가장 근접 — d ≈ 0.4, 정답 (B).

d² ≈ 0.159 → d ≈ 0.4 → (B)

정답

0.4

크기 감각 확인: d=0.5 면 네 사분원이 딱 맞닿아 넓이 합 π(0.5)² ≈ 0.785 — 너무 많음. d=0.3 이면 π(0.3)² ≈ 0.283 — 너무 적음. 그 중간인 d=0.4 의 넓이는 π(0.4)² ≈ 0.503 으로 거의 정확히

\frac{1}{2}

. d ≤ 0.5 가정도 성립 — 사분원이 정말 겹치지 않습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 수직선 위 어림 비교만 알면 풀 수 있어요 — 거대한 정사각형을 작은 한 칸으로 줄이고, 네 모서리 사분파이를 모아 온전한 파이로 만들고, 그 넓이를 $\frac{1}{2}$ 로 놓으면 d ≈ 0.4. 답은 (B).

비슷한 유형 더 풀어보기