AMC 10 · 2020 · #19

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

spatial-visualizationsystematic-enumerationface-adjacencysymmetry-argumenttree-enumeration identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: face-adjacencysystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정십이면체가 윗면과 아랫면이 수평이 되도록 떠 있습니다. 윗면 둘레로 비스듬한 오각형 5개 (위쪽 고리) 가, 아랫면 둘레로 또 다른 오각형 5개 (아래쪽 고리) 가 배치됩니다. 윗면에서 출발해 아랫면에 도착하되, 인접한 면끼리만 이동하고, 같은 면은 최대 한 번만 방문하며, 아래쪽 고리에서 위쪽 고리로는 거슬러 올라가지 않습니다. 가능한 경로 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

125

(B)

250

(C)

405

(D)

640

(E)

810

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 모든 유효 경로는 같은 모양 — 윗면 → (위쪽 고리 일부) → (아래쪽 고리 일부) → 아랫면. 위쪽 고리를 떠나는 순간을 기준으로 잘라 각 구간을 따로 세고 곱합니다. 도구 #1 (그림): 위쪽 고리를 1 ~ 5 번 오각형 사이클로 그리고, 각각이 아래로 내려가는 두 면을 표시하면 선택지가 한눈에. 도구 #5 (패턴): 한 고리 안에서, 진입한 면에서 바로 떠나거나 시계/반시계 방향으로 1, 2, 3, 4 칸 걸을 수 있으니 항상 1 + 2 · 4 = 9 가지.

1STEP 1

모든 경로는 한 모양: 윗면 T, 위쪽 고리 몇 면, 아래쪽 고리 몇 면, 아랫면 B. 구간별로 세고 곱합니다.

T → (U들) → (L들) → B

2STEP 2

T 는 위쪽 고리 5면 모두와 맞닿으므로 진입 면은 5 가지.

진입 선택 = 5

3STEP 3

고리 안에서: 바로 내려가거나 (1가지), 시계·반시계로 1~4칸 (2·4) — 9가지 부분 경로, 각각 다른 면에서 끝.

위쪽 고리 부분 경로 = 1 + 2 · 4 = 9

4STEP 4

각 위쪽 고리 면은 아래쪽 고리 2면 위에 걸치므로 낙하는 2 가지.

낙하 선택 = 2

5STEP 5

위쪽 고리의 거울상: 진입 면에서 B 로 (1가지) 또는 어느 방향으로든 1~4칸 — 다시 9가지 부분 경로.

아래쪽 고리 부분 경로 = 1 + 2 · 4 = 9

6STEP 6

아래쪽 고리의 모든 면이 B 와 접하므로 아랫면으로 가는 마지막 걸음은 1 가지.

마무리 = 1

7STEP 7

다섯 단계 수를 모두 곱합니다: 5 · 9 · 2 · 9 · 1 = 810, 선택지 (E).

5 · 9 · 2 · 9 · 1 = 810 → (E)

정답

810

고리 내부 9가지 검산: 진입 면에서 멈춤 (1 가지), 시계 1, 2, 3, 4 칸 (4 가지), 반시계 1, 2, 3, 4 칸 (4 가지) — 1 + 4 + 4 = 9. 곱 5 · 9 · 2 · 9 · 1 = 810 은 선택지 중 유일하게 9 로 나누어 떨어지는 값 — 다른 선택지 (125, 250, 405, 640) 는 고리 내부 옵션 누락이나 × 2 낙하 인수 빠뜨림.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 곱의 법칙만 알면 풀 수 있어요 — 경로를 다섯 독립 단계 (5 · 9 · 2 · 9 · 1) 로 쪼개 곱하면 끝. 답은 (E) 810.

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