AMC 10 · 2020 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

사각형 ABCD 는 직각이 두 개 있습니다: ∠ ABC = 90° 와 ∠ ACD = 90°. 대각선 AC 의 길이는 20, CD = 30. 두 대각선 AC 와 BD 는 점 E 에서 만나고 AE = 5. 사각형 ABCD 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

330

(B)

340

(C)

350

(D)

360

(E)

370

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 대각선 AC 가 ABCD 를 두 직각삼각형 △ ACD, △ ABC 로 자릅니다. 각각의 넓이를 구해서 더합니다. △ ACD 는 두 직각변이 주어져 바로 계산. △ ABC 는 B 에서 AC 에 내린 수선 BF 의 길이가 필요. 도구 #1 (그림): AC 를 수평으로 두고 C 를 원점, A 를 오른쪽, D 를 C 위에 놓고 AC 위에 E 를 표시. BF 와 CD 가 모두 AC 와 수직이므로 평행, 따라서 △ EBF ∼ △ EDC (AA). 도구 #13 (대수): EF = x 로 두고 닮음으로 BF 를 x 로 표현, 직각삼각형의 수선 정리 BF² = AF · FC 로 x 결정.

1STEP 1

쉬운 쪽 먼저: 직각삼각형 ACD 는 직각변 20, 30 — [ACD] = $\frac{1}{2}$ · 20 · 30 = 300.

[△ ACD] =

\frac{1}{2}

· 20 · 30 = 300

2STEP 2

삼각형 ABC 는 AC 를 밑변으로: [ABC] = 10 · BF, 그래서 BF 필요. BF, CD 모두 AC 에 수직 → BF ∥ CD.

[△ ABC] =

\frac{1}{2}

· 20 · BF = 10 · BF, BF ∥ CD

3STEP 3

E 주위: BF ∥ CD 로 △ EBF ∼ △ EDC (AA), $\frac{BF}{30}$ = $\frac{EF}{15}$ → BF = 2 · EF.

\frac{BF}{30}

\frac{EF}{15}

→ BF = 2 · EF

4STEP 4

EF = x → BF = 2x. 빗변-수선 정리 BF² = AF · FC 로 (2x)² = (5 - x)(x + 15).

(2x)² = (5 - x)(x + 15)

5STEP 5

전개·정리하면 x² + 2x - 15 = 0 → (x + 5)(x - 3) = 0, 양의 근 x = 3 이므로 BF = 6.

x² + 2x - 15 = 0 → x = 3, BF = 6

6STEP 6

그러면 [ABC] = 10 · BF = 10 · 6 = 60, 두 넓이 합 [ABCD] = 300 + 60 = 360 — 선택지 (D).

[ABCD] = 300 + 60 = 360 → (D)

정답

360

기하 검산: C = (0, 0), A = (20, 0), D = (0, 30), E = (15, 0) 로 좌표 설정. 직선 BD 는 D 와 E 를 지나고 기울기 -2. 수선의 발 F = (18, 0) 이면 B = (18, -6) 가 BF = 6 을 만족하고 B 에서 직각: BA = (2, 6), BC = (-18, 6) 의 내적은 -36 + 36 = 0 ✓. 또 |AB| = √(40), |BC| = √(360) 이고

\frac{1}{2}

√(40 · 360) =

\frac{1}{2}

√(14400) = 60 ✓. 총합 300 + 60 = 360 은 선택지 (D) 와 일치 — 근처 함정 330, 340, 350, 370 은 BF 를 잘못 잡은 경우.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 닮은 삼각형과 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대각선 AC 로 사각형을 쪼개 쉬운 직각삼각형에서 300, 닮은 삼각형으로 수선 BF = 6 을 찾아 60 추가. 답은 (D) 360.

비슷한 유형 더 풀어보기