경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020A · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetrymodular-arithmeticcombinations-basic caseworksystematic-enumerationphysical-representation ↑ 선수 지식: rotation-isometryreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

5 가지 강체 변환 {R₉₀, R₁₈₀, R₂₇₀, S_x, S_y} (원점을 중심으로 한 반시계 방향 회전과 두 좌표축에 대한 대칭) 에서 중복을 허용해 순서 있는 길이 3 의 순서쌍을 만들면 5³ = 125 가지. 이 중 차례로 적용했을 때 꼭짓점이 (0,0), (4,0), (0,3) 인 삼각형 T 를 원래 위치로 되돌리는 것은 몇 개?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 삼각형이 대칭 없는 부등변이라 방향성으로 깔끔히 분기 — 대칭 개수 짝수 조건이 경우 1(0 대칭, 3 회전), 경우 2(2 대칭, 1 회전)로 나눠줌. 도구 #10(직접 만져보기): 종이 삼각형을 잘라 라벨링 후 손으로 합성 검증. 도구 #2(빠짐없이 나열): 회전 합이 360° 의 배수인 삼중쌍을 모두 나열. 도구 #5(패턴): 두 좌표축 대칭의 합성은 R₁₈₀ — 경우 2가 {S_x, S_y, R₁₈₀} 한 집합으로 축소됨.

1STEP 1

반사 횟수 따져 보기

T 의 변 3, 4, 5가 모두 달라 합성은 정확히 항등이어야 하고, 항등은 방향 보존이라 대칭 개수는 0 또는 2.

#대칭 ∈ {0, 2}

2STEP 2

회전 3개인 경우 다루기

경우 1(세 회전): 90° 단위 1, 2, 3의 합이 4의 배수여야 하니 가능한 합은 4 또는 8.

n₁ + n₂ + n₃ ≡ 0 (mod 4), n_i ∈ {1, 2, 3}

3STEP 3

회전 조합 세기

합 4는 {1,1,2}, 합 8은 {2,3,3} 에서만 나오고 각각 $\frac{3!}{2!}$ = 3 순서이므로 경우 1은 6 개.

|경우 1| = 3 + 3 = 6

4STEP 4

반사 2개인 경우 다루기

경우 2(대칭 둘, 회전 하나): 같은 축 두 번은 상쇄되니 S_x 와 S_y 를 쓰고, 합성은 R₁₈₀; 회전도 R₁₈₀.

S_y ° S_x = R₁₈₀; R ° R₁₈₀ = I → R = R₁₈₀

5STEP 5

순서 경우의 수 세기

{S_x, S_y, R₁₈₀}은 서로 다르고 모두 가환이라 3! 순서 모두 성립 — 경우 2는 6 개.

|경우 2| = 3! = 6

6STEP 6

두 경우 더하기

두 경우는 배타적(대칭 0 개 vs 2 개)이라 더하면 6 + 6 = 12.

총합 = 6 + 6 = 12 → (A)

정답

감각 점검. 125 중 12는 약 10% — 빡빡한 항등 조건에 어울리는 비율. 검증: (R₉₀, R₉₀, R₁₈₀) (경우 1): 총 반시계 회전 = 90 + 90 + 180 = 360°, 항등 ✓. (S_x, R₁₈₀, S_y) (경우 2): (x,y) → (x,-y) → (-x,y) → (x,y), 항등 ✓. 반례 (R₉₀, S_x, S_x): (x,y) → (-y,x) → (-y,-x) → (-y,x) — 항등 아님 ✓ ("같은 대칭 두 번 + 회전" 은 실패한다는 추론과 일치). 함정 선택지 (E) 25 = 5²은 "두 대칭이 정해진 뒤 회전은 자유" 라고 잘못 세는 경우 — 명백한 과다 계산.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 회전과 대칭의 성질만 있으면 풀려요 — 대칭 개수는 짝수 (0 또는 2); 세 회전의 합이 360° 또는 720° 인 경우 6 가지; 서로 다른 두 좌표축 대칭과 R₁₈₀의 조합 6 가지; 6+6=12.

반사 횟수 따져 보기
회전 3개인 경우 다루기
회전 조합 세기
반사 2개인 경우 다루기
순서 경우의 수 세기
두 경우 더하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.