경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

coordinate-geometrypythagorean-theoremsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

8 개의 점이 두 줄에 4 개씩 놓여 있습니다. 가로 이웃 점 사이 간격과 두 줄 사이 간격이 모두 같습니다. 이 8 개의 점 중 3 개를 골라 만들 수 있는 삼각형 중, 서로 합동이 아닌 것은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

C(8, 3) = 56 가지를 전부 확인하는 것은 낭비입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 점들을 좌표평면에 올리면 각 삼각형의 모양이 "세 변 길이의 제곱 묶음" 하나로 표현됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 아래쪽 줄에 놓는 밑변의 길이(1, 2, 3) 별로 케이스를 나누고, 각 케이스 안에서 위쪽 줄의 꼭짓점을 순서대로 옮기는 식으로 검색을 정리합니다. 도구 #3(가능성 줄이기)은 격자의 두 대칭 — 위·아래 뒤집기와 좌·우 뒤집기 — 을 활용해 이미 센 삼각형과 합동인 케이스, 그리고 한 줄에 세 점만 골라 삼각형이 되지 않는 케이스를 미리 제거합니다.

1STEP 1

점에 좌표 붙이기

점을 좌표에 올리면 삼각형이 변 길이 제곱 묶음 하나로 바뀌어 제곱근이 필요 없습니다.

d² = (Δ x)² + (Δ y)²

2STEP 2

불가능한 경우 지우기

같은 줄 세 점은 일직선이라 제외하고, 위·아래 뒤집기로 밑변이 아래쪽 줄인 삼각형만 남깁니다.

나열 대상 = {밑변은 아래쪽 줄, 꼭짓점은 위쪽 줄}

3STEP 3

밑변 길이로 나누기

밑변 길이별로 정리합니다 — 아래쪽 줄에서 1, 2, 3. 꼭짓점을 위쪽 줄로 옮기며, 좌·우 뒤집기로 거울상 중복은 건너뜁니다.

밑변 길이 = {1, 2, 3}

4STEP 4

밑변 1인 삼각형 세기

밑변 B₁B₂: 꼭짓점 T₁→{1,1,2}, T₃→{1,2,5}, T₄→{1,5,10}, T₂는 T₁의 거울상 — 새 모양 3 개.

밑변 1: {1,1,2}, {1,2,5}, {1,5,10} → 3 개

5STEP 5

밑변 2인 삼각형 세기

밑변 B₁B₃: T₁→{1,4,5}, T₂→{2,2,4}, T₄→{2,4,10}, T₃는 T₁ 거울상 — 새 모양 3 개.

밑변 2: {1,4,5}, {2,2,4}, {2,4,10} → 3 개

6STEP 6

밑변 3인 삼각형 세기

밑변 B₁B₄: T₁→{1,9,10}, T₂→{2,5,9}, T₃는 T₂ 거울상, T₄는 T₁ 거울상 — 새 모양 2 개.

밑변 3: {1,9,10}, {2,5,9} → 2 개

7STEP 7

세 개수 더하기

각 칸을 더하면 3 + 3 + 2 = 8 개, 여덟 개의 변 제곱 묶음이 모두 달라 숨은 합동 쌍이 없습니다 — 정답 (D).

합계 = 3 + 3 + 2 = 8 → (D)

정답

변 제곱 길이 묶음 8 개가 서로 다 다르므로 8 이라는 개수는 일관됩니다. 또 다른 확인으로, 밑변이 한 줄에 놓이지 않은 삼각형 — 예를 들어 B₁(0,0), T₂(1,1), T₃(2,1) — 도 위 8 칸 중 하나에 속해야 합니다. 이 삼각형의 변 제곱 묶음은 {2, 5, 1}로 삼각형 2와 일치합니다. 선택지 (A) 5부터 (E) 9 까지가 답을 좁게 둘러싸고 있고, (D) 8은 케이스 합계와 AMC 8 공식 정답 모두에 부합합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 8학년 거리 공식 (Δ x)² + (Δ y)²와 "빠짐없이 나열하기" 만 있으면 — 같은 삼각형을 두 번 세지 않게 — 풀 수 있어요.

점에 좌표 붙이기
불가능한 경우 지우기
밑변 길이로 나누기
밑변 1인 삼각형 세기
밑변 2인 삼각형 세기
밑변 3인 삼각형 세기
세 개수 더하기

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