AMC 10 · 2020 · #25

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

probability-basicexpected-valuecaseworksystematic-enumerationconditional-probability caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicexpected-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Jason 은 공정한 주사위 세 개를 굴려 결과를 본 뒤, 합이 정확히 7 이 될 확률을 최대로 만들 부분집합 (개수 0, 1, 2, 3 중 하나) 을 골라 다시 굴립니다. 초기 굴림에 대한 확률 — 최적 전략이 "정확히 두 주사위를 다시 굴리는 것" 일 확률은 얼마?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{36}$

(B)

$\frac{5}{24}$

(C)

$\frac{2}{9}$

(D)

$\frac{17}{72}$

(E)

$\frac{1}{4}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 네 전략 (재굴림 0, 1, 2, 3) 의 승리 확률을 각각 계산해 비교. 도구 #9(더 쉬운 문제): 주사위 두 개의 합이 s 가 되는 경우 수는 s ≤ 7 일 때 s-1 이라는 작은 규칙. 도구 #2(빠짐없이 나열): 정렬 (a, b, c), a ≤ b ≤ c 가 도출된 조건 만족하는 것들을 순열 수까지 곱해 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 재굴림 2 vs. 재굴림 1 비교로 큰 영역 제거, 재굴림 2 vs. 재굴림 3 으로 a ∈ {1, 2, 3} 으로 더 제한.

1STEP 1

재굴림 0 은 처음 합이 7 일 때만 승리. 재굴림 3: 합 7 삼중쌍이 $\frac{15}{216}$ = $\frac{5}{72}$ .

P(재굴림 3) =

\frac{15}{216}

\frac{5}{72}

2STEP 2

재굴림 1: 가장 작은 두 개를 유지, a+b ≤ 6 일 때만 목표 한 면 명중해 $\frac{1}{6}$ (아니면 0).

P(재굴림 1) =

\frac{1}{6}

& a+b ≤ 6 ; 0 & a+b ≥ 7

3STEP 3

재굴림 2: 가장 작은 a 를 유지, 쌍의 합 7-a 는 6-a 가지라 승리 확률 $\frac{6-a}{36}$ .

P(재굴림 2) =

\frac{6 - a}{36}

4STEP 4

재굴림 2 는 최대 $\frac{5}{36}$ 으로 $\frac{1}{6}$ 에 못 미침 — 재굴림 1 이 가능하면 늘 이기니 a+b ≥ 7 이 필요.

\frac{6-a}{36}

＜

\frac{6}{36}

\frac{1}{6}

→ a+b ≥ 7 필요

5STEP 5

재굴림 2 가 재굴림 3 의 $\frac{5}{72}$ 를 이기려면 12-2a 가 5 초과, 즉 a 가 3.5 미만 — 유지 눈 a ∈ {1, 2, 3}.

a ∈ {1, 2, 3}

6STEP 6

재굴림 0 은 초기 합 7 이 필요하나 a+b ≥ 7 이면 총합이 8 이상 — 재굴림 0 은 자동 탈락.

a + b ≥ 7 → a+b+c ≥ 8 → 초기 합 ≠ 7

7STEP 7

a+b ≥ 7 아래 a 로 경우 나눔: a=1 → (1,6,6) 은 3; a=2 → 12; a=3 → 27 순서쌍.

|a=1|=3, |a=2|=12, |a=3|=27

8STEP 8

경우 합산: 3+12+27 = 42 가지 / 216, 확률 $\frac{42}{216}$ = $\frac{7}{36}$ , 선택지 (A).

P =

\frac{42}{216}

\frac{7}{36}

→ (A)

정답

\frac{7}{36}

감각 점검.

\frac{42}{216}

의 gcd(42, 216) = 6 으로 약분하면

\frac{7}{36}

. 정렬 삼중쌍은 a 가 유일하므로 중복 없음. 검증 (1,6,6): a=1, 재굴림 2 는 1 유지, 쌍 합 6 필요, 순서 있는 쌍 5 개 ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), 확률

\frac{5}{36}

≈ 0.139. 재굴림 1 대안은 (6,6) 유지, 합 12 ＞ 6, 불가 — 재굴림 1 제거 확인. 재굴림 3 은

\frac{5}{72}

≈ 0.069, 더 낮음. 재굴림 0 은 합 13 ≠ 7, 0. 재굴림 2 가 승리. 검증 (4,5,6): a=4 ∉ {1,2,3} — 여기선 재굴림 2 가 최적 아님. 재굴림 1 가능? a+b = 9 ＞ 6, 불가. 재굴림 3 은

\frac{5}{72}

. 재굴림 2 (4 유지) 는

\frac{6-4}{36}

\frac{2}{36}

\frac{4}{72}

＜

\frac{5}{72}

— 재굴림 3 이 이김. 필터 a ≤ 3 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 주사위 확률과 부등식 비교만 있으면 풀려요 — 두 주사위 재굴림이 최적이려면 (1) 모든 두 주사위 합이 6 초과 (a+b ≥ 7), (2) 가장 작은 주사위가 {1,2,3} 이어야 하고, 그런 정렬 순서쌍 42 개 / 216 으로 $\frac{42}{216}$ = $\frac{7}{36}$ .

비슷한 유형 더 풀어보기