경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020A · #25

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

probability-basicexpected-valuecaseworksystematic-enumerationconditional-probability caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicexpected-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Jason 은 공정한 주사위 세 개를 굴려 결과를 본 뒤, 합이 정확히 7 이 될 확률을 최대로 만들 부분집합 (개수 0, 1, 2, 3 중 하나)을 골라 다시 굴립니다. 초기 굴림에 대한 확률 — 최적 전략이 "정확히 두 주사위를 다시 굴리는 것" 일 확률은 얼마?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{36}$

(B)

$\frac{5}{24}$

(C)

$\frac{2}{9}$

(D)

$\frac{17}{72}$

(E)

$\frac{1}{4}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 네 전략 (재굴림 0, 1, 2, 3)의 승리 확률을 각각 계산해 비교. 도구 #9(더 쉬운 문제): 주사위 두 개의 합이 s 가 되는 경우 수는 s ≤ 7 일 때 s-1 이라는 작은 규칙. 도구 #2(빠짐없이 나열): 정렬 (a, b, c), a ≤ b ≤ c 가 도출된 조건 만족하는 것들을 순열 수까지 곱해 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 재굴림 2 vs. 재굴림 1 비교로 큰 영역 제거, 재굴림 2 vs. 재굴림 3으로 a ∈ {1, 2, 3}으로 더 제한.

1STEP 1

3개 다시 굴릴 확률 구하기

재굴림 0은 처음 합이 7 일 때만 승리. 재굴림 3: 합 7 삼중쌍이 $\frac{15}{216}$ = $\frac{5}{72}$ .

P(재굴림 3) = 15/216 = 5/72

2STEP 2

1개 다시 굴릴 확률 구하기

재굴림 1: 가장 작은 두 개를 유지, a+b ≤ 6 일 때만 목표 한 면 명중해 $\frac{1}{6}$ (아니면 0).

P(재굴림 1) = 1/6 & a+b ≤ 6 ; 0 & a+b ≥ 7

3STEP 3

2개 다시 굴릴 확률 구하기

재굴림 2: 가장 작은 a 를 유지, 쌍의 합 7-a 는 6-a 가지라 승리 확률 $\frac{6-a}{36}$ .

P(재굴림 2) = (6 - a)/36

4STEP 4

1개 굴리기보다 나은 조건 찾기

재굴림 2는 최대 $\frac{5}{36}$ 으로 $\frac{1}{6}$ 에 못 미침 — 재굴림 1이 가능하면 늘 이기니 a+b ≥ 7 이 필요.

(6-a)/36 ＜ 6/36 = 1/6 → a+b ≥ 7 필요

5STEP 5

3개 굴리기보다 나은 조건 찾기

재굴림 2가 재굴림 3의 $\frac{5}{72}$ 를 이기려면 12-2a 가 5 초과, 즉 a 가 3.5 미만 — 유지 눈 a ∈ {1, 2, 3}.

a ∈ {1, 2, 3}

6STEP 6

그대로 두기보다 나은 조건 찾기

재굴림 0은 초기 합 7이 필요하나 a+b ≥ 7이면 총합이 8 이상 — 재굴림 0은 자동 탈락.

a + b ≥ 7 → a+b+c ≥ 8 → 초기 합 ≠ 7

7STEP 7

조건 맞는 순서쌍 세기

a+b ≥ 7 아래 a 로 경우 나눔: a=1 → (1,6,6)은 3; a=2 → 12; a=3 → 27 순서쌍.

|a=1|=3, |a=2|=12, |a=3|=27

8STEP 8

확률로 나타내기

경우 합산: 3+12+27 = 42 가지 / 216, 확률 $\frac{42}{216}$ = $\frac{7}{36}$ , 선택지 (A).

P = 42/216 = 7/36 → (A)

정답

7/36

감각 점검.

\frac{42}{216}

의 gcd(42, 216) = 6으로 약분하면

\frac{7}{36}

. 정렬 삼중쌍은 a 가 유일하므로 중복 없음. 검증 (1,6,6): a=1, 재굴림 2는 1 유지, 쌍 합 6 필요, 순서 있는 쌍 5 개 ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), 확률

\frac{5}{36}

≈ 0.139. 재굴림 1 대안은 (6,6) 유지, 합 12 ＞ 6, 불가 — 재굴림 1 제거 확인. 재굴림 3은

\frac{5}{72}

≈ 0.069, 더 낮음. 재굴림 0은 합 13 ≠ 7, 0. 재굴림 2가 승리. 검증 (4,5,6): a=4 ∉ {1,2,3} — 여기선 재굴림 2가 최적 아님. 재굴림 1 가능? a+b = 9 ＞ 6, 불가. 재굴림 3은

\frac{5}{72}

. 재굴림 2 (4 유지)는

\frac{6-4}{36}

\frac{2}{36}

\frac{4}{72}

＜

\frac{5}{72}

— 재굴림 3이 이김. 필터 a ≤ 3 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 주사위 확률과 부등식 비교만 있으면 풀려요 — 두 주사위 재굴림이 최적이려면 (1) 모든 두 주사위 합이 6 초과 (a+b ≥ 7), (2) 가장 작은 주사위가 {1,2,3} 이어야 하고, 그런 정렬 순서쌍 42 개 / 216으로 $\frac{42}{216}$ = $\frac{7}{36}$ .

3개 다시 굴릴 확률 구하기
1개 다시 굴릴 확률 구하기
2개 다시 굴릴 확률 구하기
1개 굴리기보다 나은 조건 찾기
3개 굴리기보다 나은 조건 찾기
그대로 두기보다 나은 조건 찾기
조건 맞는 순서쌍 세기
확률로 나타내기

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