경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020A · #3

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticpattern-recognitionpolynomial-factoring pattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

분모가 모두 0이 아니라는 조건 아래에서,

\frac{a-3}{5-c}

\frac{b-4}{3-a}

\frac{c-5}{4-b}

의 간단한 형태를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}1$

(B)

(C)

$\frac{abc}{60}$

(D)

$\frac{1}{abc} - \frac{1}{60}$

(E)

$\frac{1}{60} - \frac{1}{abc}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #5(패턴 찾기): 모든 분자 (a-3), (b-4), (c-5)가 어떤 분모 -(3-a), -(4-b), -(5-c)의 부호 반대. 이 반복 구조 하나가 문제 전체. 도구 #15(다르게 정리하기) — 분수들의 짝을 다시 묶어 분자가 자기 자신의 부호 반대 위에 오게 정리: (a-3)/(3-a) · (b-4)/(4-b) · (c-5)/(5-c). 도구 #6(추측하고 확인하기)은 더 빠른 안전길 — 쉬운 수 (a=b=c=0)를 넣어 직접 계산. 도구 #3(가능성 지우기)으로 확정 — 결과가 a, b, c 와 무관한 상수여야 하므로 (C), (D), (E)는 모두 탈락.

1STEP 1

부호 반대인 짝 찾기

각 분자는 어떤 분모의 부호 반대: (a-3) = -(3-a), 나머지도 같아요.

a - 3 = -(3 - a), b - 4 = -(4 - b), c - 5 = -(5 - c)

2STEP 2

분자와 짝 맞춰 다시 묶기

곱셈 순서를 바꿔 각 분자를 자기 부호 반대인 분모와 다시 짝지어요.

(a-3)/(5-c) · (b-4)/(3-a) · (c-5)/(4-b) = (a-3)/(3-a) · (b-4)/(4-b) · (c-5)/(5-c)

3STEP 3

세 개의 음수 1 곱하기

다시 짝지은 각 분수는 $\frac{식}{-식}$ = -1, 그래서 (-1)(-1)(-1) = -1 → (A).

(-1)(-1)(-1) = -1 → (A)

4STEP 4

실제 수로 확인하기

a=b=c=0 대입: $\frac{-3}{5}$ · $\frac{-4}{3}$ · $\frac{-5}{4}$ = $\frac{-60}{60}$ = -1.

-3/5 · -4/3 · -5/4 = -60/60 = -1 → (A)

5STEP 5

변수 있는 선택지 지우기

(C)(D)(E)는 abc 를 포함하지만 결과는 상수 → 제외; 부호 확인으로 (B) 아닌 (A).

결과가 상수 → 선택지는 (A) 또는 (B); 부호로 (A)

정답

-1

다른 세 수로 한 번 더 확인. a = 1, b = 1, c = 1: 곱 =

\frac{-2}{4}

\frac{-3}{2}

\frac{-4}{3}

\frac{(-2)(-3)(-4)}{(4 · 2 · 3)}

\frac{-24}{24}

= -1. 같은 답 — (A)가 일관됨.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "부호 있는 수의 곱셈" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 분자가 한 분모의 부호 반대라 짝마다 -1, 셋을 곱하면 답은 -1 이에요!

부호 반대인 짝 찾기
분자와 짝 맞춰 다시 묶기
세 개의 음수 1 곱하기
실제 수로 확인하기
변수 있는 선택지 지우기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

부호 반대인 짝 찾기

분자와 짝 맞춰 다시 묶기

세 개의 음수 1 곱하기

실제 수로 확인하기

변수 있는 선택지 지우기

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