경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020A · #6

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsdivisibility-rulessystematic-enumerationmultiplesparity caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-constraints

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

1000부터 9999 까지의 네 자리 자연수 중에서 모든 자리수가 짝수이면서 5의 배수인 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

125

(D)

200

(E)

500

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

각 자리는 서로 독립적인 선택 — 도구 #7로 네 자리를 네 개의 작은 부분 문제로 분해. 도구 #2로 각 자리에서 허용되는 숫자를 빠짐없이 나열, 도구 #3으로 금지된 숫자(홀수, 천의 자리 0)를 제거. 마지막에 네 개의 가짓수를 곱하면 끝.

1STEP 1

일의 자리 정하기

일의 자리는 짝수이면서 5의 배수 → 0만 가능.

일의 자리 = 0 (1가지)

2STEP 2

천의 자리 경우 세기

천의 자리는 짝수지만 0은 안 됨 → 2, 4, 6, 8, 4가지.

천의 자리 ∈ {2, 4, 6, 8} (4가지)

3STEP 3

백의 자리 경우 세기

백의 자리는 짝수면 됨 → 0, 2, 4, 6, 8, 5가지.

백의 자리 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (5가지)

4STEP 4

십의 자리 경우 세기

십의 자리도 같은 짝수 규칙 → 다시 5가지.

십의 자리 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (5가지)

5STEP 5

네 자리 경우 곱하기

독립적인 선택은 곱셈 → 4 × 5 × 5 × 1 = 100.

4 × 5 × 5 × 1 = 100

6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

그 개수 100은 보기 (B).

N = 100 → (B)

정답

100

크기 감각으로 확인. 제약이 없으면 네 자리 수는 9 · 10 · 10 · 10 = 9000 개. '모두 짝수'만 적용하면 4 · 5 · 5 · 5 = 500 (이게 보기 E — 단, 5의 배수 조건을 빠뜨림). 여기서 5의 배수 조건이 일의 자리를 다섯 가지에서 한 가지로 줄이므로

\frac{500}{5}

= 100. 답 100은 보기 중간에 위치하며 두 경로 모두로 확인됨.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년에 배운 '5의 배수는 일의 자리가 0 이나 5'와 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — 일의 자리는 0 하나, 천의 자리는 {2,4,6,8} 네 가지, 가운데 두 자리는 짝수 다섯 가지씩, 그래서 4 × 5 × 5 × 1 = 100.

일의 자리 정하기
천의 자리 경우 세기
백의 자리 경우 세기
십의 자리 경우 세기
네 자리 경우 곱하기
선택지와 맞춰 보기

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