경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2024A · #3
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
P 를 최소로 만들려면 다섯 소수도 최소여야 합니다 — 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)이 적합합니다. 가장 작은 후보 집합부터 시도하고, 합이 소수가 아니면 그다음 소수로 하나만 바꿔 다시 시도하면 됩니다. 그 전에 도구 #3(가능성 지우기)으로 2를 후보에서 제외합니다. 2가 다섯 중 하나라면 나머지 넷은 홀수 소수이므로 합이 짝수가 되고, 2 보다 큰 짝수는 소수가 아니기 때문입니다. 따라서 다섯 소수는 모두 홀수 소수이며 탐색 범위가 아주 좁아집니다.
소수 2 지우기
소수 2를 배제: 쓰면 합이 짝수(최소 28)라 소수가 아니니 다섯 소수는 모두 홀수여야 합니다.
홀수 네 개를 더하면 짝수가 되고, 2를 더해도 여전히 짝수입니다. 2 보다 큰 짝수는 소수가 아니라는 2학년 홀짝 규칙으로 한 번에 정리됩니다.
홀수 넷을 더하면 합이 짝수이고, 거기에 2를 더해도 짝수로 남는다.
▸ 왜?
홀수는 둘씩 짝지어 짝수가 되므로, 짝수 개의 홀수를 더하면 짝수가 된다.
▸ 왜?
2보다 큰 짝수는 언제나 인수 2를 지니므로, 결코 소수일 수 없다.
가장 작은 홀수 소수 다섯 개 더하기
첫 추측: 가장 작은 다섯 홀수 소수 3, 5, 7, 11, 13의 합, 가능한 최소 합 39.
최소 후보부터 시작하면 합도 최소가 되므로, 이보다 더 작은 곳은 없습니다.
4.NBT.B.4Guess And Check39가 소수인지 확인하기
39는 소수? 자릿수 합 3+9=12가 3의 배수라 39 = 3 × 13, 합성수 — 다음 합으로.
3의 배수 판정이 빠릅니다. 자릿수 합 3 + 9 = 12가 3의 배수이므로 39도 그렇습니다.
4.OA.B.4Guess And Check다음 소수로 바꾸기
가장 작은 변화: 최대 소수 13을 17로 바꿔 합을 4 만큼 올리면 43.
13을 17로 바꾸면 합이 4 만큼 증가합니다: 39 + 4 = 43. 다음으로 가능한 가장 작은 합입니다.
4.NBT.B.4Guess And Check43이 소수인지 확인하기
43 확인: √43 ≈ 6.6 이하 소수 2, 3, 5로 안 나눠지므로 43은 소수.
√(43) 이하의 소수만 확인하면 충분하므로 2, 3, 5만 검사합니다.
4.OA.B.4Guess And Check41이 안 되는 이유 확인하기
39와 43 사이 소수는 41 뿐인데 41 - (3+5+7+11) = 15는 소수가 아니라 43이 최소.
39와 43 사이에는 41만 있는데, 어떤 허용 조합으로도 41을 만들 수 없으므로 43이 확정됩니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities43의 자릿수 더하기
43의 각 자리 숫자를 더하면 4 + 3 = 7 → (B).
십의 자리 4와 일의 자리 3을 읽어 더하는 것은 2학년 자릿값 활동입니다.
2.NBT.A.1Guess And Check홀짝 논리로 2를 빼고, 가장 작은 다섯 홀수 소수부터 더한 뒤 합이 소수가 될 때까지 가장 큰 것만 한 칸씩 올리세요. 두 번째 시도에서 43이 나오고, 자릿수 합은 7입니다.
- 소수 2 지우기
- 가장 작은 홀수 소수 다섯 개 더하기
- 39가 소수인지 확인하기
- 다음 소수로 바꾸기
- 43이 소수인지 확인하기
- 41이 안 되는 이유 확인하기
- 43의 자릿수 더하기
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