AMC 10 · 2020 · #9

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

lcmratio-proportionmultiples guess-and-checkpattern-recognition ↑ 선수 지식: lcmratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

벤치 한 개에는 어른 7 명만 앉거나 어린이 11 명만 앉을 수 있다. 벤치 N 개를 끝과 끝을 이어 붙였을 때 어른과 어린이가 같은 수로 함께 앉아 벤치를 빈자리 없이 정확히 채우려면 N 의 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

보기는 다섯 개뿐. 도구 #6 (추측·확인) 으로 각 N 을 벤치 균형식에 대입. 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 사람 수가 분수가 되는 N 탈락. 도구 #5 (패턴) 가 본질 규칙을 드러냄 — k 는 7 과 11 의 공배수여야 하고 최솟값은 LCM(7, 11) = 77, 그래서 N = $\frac{77}{7} + \frac{77}{11}$ = 11 + 7 = 18.

1STEP 1

자리를 벤치 분수로: 어른 k 명은 $\frac{k}{7}$ 개, 어린이 k 명은 $\frac{k}{11}$ 개, 그래서 $\frac{k}{7} + \frac{k}{11} = N$ .

\frac{k}{7} + \frac{k}{11} = N

2STEP 2

N 이 정수이려면 k 가 7 과 11 을 모두 나눠떨어뜨려야 하니 k 는 공배수 — 최솟값 LCM(7, 11) = 77.

k = LCM(7, 11) = 77

3STEP 3

k = 77 을 벤치식에 대입: N = $\frac{77}{7} + \frac{77}{11}$ = 11 + 7 = 18.

N =

\frac{77}{7} + \frac{77}{11}

= 11 + 7 = 18

4STEP 4

더 작은 N 확인: N = 9 면 k = $\frac{9·77}{18}$ = 38.5 — 사람이 분수라 18 의 배수 아닌 N 은 모두 탈락.

N = 9 → k = 38.5 — 사람 수 분수, 불가능

5STEP 5

N = 18 은 (B).

N = 18 → (B)

정답

물리적 배치로 검증. 벤치 18 개에 어른 77 명 (벤치 11 개) + 어린이 77 명 (벤치 7 개). 어른 수 = 어린이 수 = 77 ✓. 사용 벤치 11 + 7 = 18 개 ✓. 빈자리 없음. 또 7 + 11 = 18 이라는 깔끔한 지름길도 — 벤치당 어른 a 명, 어린이 c 명일 때 gcd(a, c) = 1 이면 k = ac, N = c + a.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 LCM 만 알면 풀 수 있어요 — 같은 인원 k 가 어른 7-인 벤치로도 어린이 11-인 벤치로도 정수로 나뉘려면 k = LCM(7,11) = 77, 그래서 벤치 수는 $\frac{77}{7} + \frac{77}{11}$ = 11 + 7 = 18.

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