AMC 10 · 2020 · #10

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

volume-conepythagorean-theoremarea-circlesperimeter identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 4 인치인 원의

\frac{3}{4}

부채꼴을 두 반지름을 따라 붙여 직원뿔의 옆면을 만든다. 이 원뿔의 부피(세제곱 인치)를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\pi \sqrt5$

(B)

$4\pi \sqrt3$

(C)

$3 \pi \sqrt7$

(D)

$6\pi \sqrt3$

(E)

$6\pi \sqrt7$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 로 펴진 부채꼴과 만들어진 원뿔을 나란히 그려 어느 부분이 어디에 대응되는지 표시. 도구 #10 으로 종이로 직접 잘라 말아 보면 모선·호·둘레의 대응이 한눈에. 도구 #7 로 부피 계산을 (a) 호로 밑면 반지름, (b) 피타고라스로 높이, (c) V = $\frac{1}{3}$ π r² h 대입의 세 단계로 분리. 도구 #3 으로 보기와 매칭.

1STEP 1

부채꼴을 말면 두 직선변이 모선이 되고 호는 밑면 둘레가 되어 모선 ℓ = 4.

ℓ = 4 인치

2STEP 2

반지름 4 원의 둘레는 8π 이고, 그 $\frac{3}{4}$ 인 호의 길이는 6π.

호 길이 =

\frac{3}{4}

· 8π = 6π 인치

3STEP 3

이 호가 밑면 원의 둘레이므로 2π r = 6π 에서 밑면 반지름 r = 3.

2π r = 6π → r = 3

4STEP 4

높이, 밑면 반지름 3, 모선 4 가 직각삼각형이라 피타고라스로 h² + 9 = 16 에서 h = √7.

h² + r² = ℓ² → h² + 9 = 16 → h = √(7)

5STEP 5

r = 3, h = √7 을 V = $\frac{1}{3}$ π r² h 에 대입하면 $\frac{1}{3}$ π · 9 · √7 = 3π√7.

V =

\frac{1}{3}

π r² h =

\frac{1}{3}

π · 9 · √(7) = 3π√(7)

6STEP 6

3π√7 은 보기 (C) 이다.

3π√(7) → (C)

정답

3 π √7

기하적으로 점검. 반지름 4 인 원 전체로 만들면 r = 4 (납작한 원판). 반원으로 만들면 r = 2 (뾰족한 원뿔).

\frac{3}{4}

면 그 사이로 r = 3 이 자연스럽다. ✓ r = 3, 모선 4 면 h = √(16 - 9) = √(7) ≈ 2.65 — 모선보다 짧음. ✓ 수치로 V = 3π√(7) ≈ 3 · 3.14 · 2.65 ≈ 24.9 세제곱 인치 — 작은 종이 원뿔로 그럴듯한 크기. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 원뿔 공식만 알면 풀 수 있어요 — $\frac{3}{4}$ 부채꼴의 호 6π 가 밑면 둘레라 r = 3; 모선 4 와 반지름 3 으로 피타고라스 하면 높이 √(7); 그래서 V = $\frac{1}{3}$ π(9)(√(7)) = 3π√(7).

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