AMC 10 · 2020 · #14

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-regular-hexagonarea-circlesequilateral-trianglesymmetry-argument identify-subproblemsarea-differencesymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 2 인 정육각형 안에, 각 변을 지름으로 하는 반원 6 개가 정육각형 내부 쪽으로 그려져 있습니다. 정육각형 안에 있으면서 어느 반원에도 속하지 않는 색칠된 영역의 넓이는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$6\sqrt3 - 3\pi$

(B)

$\frac{9\sqrt3}{2} - 2\pi$

(C)

$\frac{3\sqrt3}{2} - \frac{\pi}{3}$

(D)

$3\sqrt3 - \pi$

(E)

$\frac{9\sqrt3}{2} - \pi$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 한 변 2 인 정육각형을 한 변 1 인 정삼각형 24 개로 분할해, 모든 영역(색칠/공백)이 작은 삼각형과 부채꼴의 깔끔한 조합이 되게 함. 도구 #9(더 쉬운 문제): 6-회전 대칭으로 색칠 영역은 합동인 6 조각 — 한 조각을 구하고 6 배. 도구 #7(쪼개기): 각 조각 = (작은 삼각형 2 개로 된 마름모) - (반지름 1 의 60° 부채꼴). 도구 #3(가능성 지우기): 정리식 3√(3) - π 와 일치하는 선택지 하나만 매칭.

1STEP 1

긴 대각선과 마주 보는 중점을 잇는 선으로 한 변 2 정육각형을 24 개의 합동인 한 변 1 정삼각형으로 분할.

정육각형 = 24 개의 한 변 1 정삼각형

2STEP 2

6-회전 대칭으로 색칠 영역은 꼭짓점마다 하나씩 합동인 6 조각, 한 조각을 구해 6 배.

색칠 = 6 · (한 조각)

3STEP 3

각 꼭짓점 조각 = 한 변 1 정삼각형 2 개의 마름모에서 꼭짓점의 반지름 1 60° 부채꼴을 뺀 모양.

한 조각 = (작은 정삼각형 2 개의 마름모) - (60° 부채꼴, 반지름 1)

4STEP 4

마름모 = 2 · $\frac{√(3)}{4}$ = $\frac{√(3)}{2}$ ; 60° 부채꼴 = π · $\frac{1²}{6}$ = $\frac{π}{6}$ .

마름모 =

\frac{√(3)}{2}

, 부채꼴 =

\frac{π}{6}

5STEP 5

한 조각 = $\frac{√(3)}{2}$ - $\frac{π}{6}$ , 6 배 하면 색칠 총합 3√(3) - π.

색칠 = 6 (

\frac{√(3)}{2}

\frac{π}{6}

) = 3√(3) - π

6STEP 6

3√(3) - π 와 일치하는 선택지는 (D) 하나뿐; 나머지는 √(3) 나 π 의 계수가 어긋남.

3√(3) - π → (D)

정답

3√3 - π

정육각형 넓이 =

\frac{3√(3)}{2}

· 4 = 6√(3) ≈ 10.39. 반원 넓이 총합(겹침 포함) = 6 ·

\frac{π}{2}

= 3π ≈ 9.42 — 흰 부분이 그만큼 크지는 않으므로 겹침 영역이 분명히 존재. 색칠 답 3√(3) - π ≈ 5.196 - 3.14 ≈ 2.06 — 양수이고 정육각형 넓이보다 훨씬 작아 꼭짓점 근처의 작은 슬라이버라는 기하적 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요! 한 변 2 정육각형을 한 변 1 정삼각형 24 개로 자르기. 6-회전 대칭이라 색칠 영역은 꼭짓점 근처 합동 조각 6 개 — 각 조각은 마름모(작은 정삼각형 2 개, 넓이 $\frac{√(3)}{2}$ )에서 반지름 1 의 60° 부채꼴(넓이 $\frac{π}{6}$ )을 뺀 모양. 6 배: 6( $\frac{√(3)}{2}$ - $\frac{π}{6}$ ) = 3√(3) - π, 답 (D).

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