경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2020B · #17

학년 4 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argument caseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationcombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

원 둘레에 10 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 9 명 중 정확히 3 명만 압니다 — 양 옆 이웃 2 명과 원 반대편의 1 명. 10 명을 5 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 10 각형과 5 개의 지름을 그리면 가능한 쌍 종류 (이웃 변 또는 지름)가 한눈에 보입니다. 도구 #7 (쪼개기): 사용한 지름의 수 k 로 경우를 나눕니다 (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). 각 경우에서 지름에 안 들어간 사람들은 이웃끼리만 짝지어져야 함. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 순서대로 빠짐없이 나열하면 중복·누락 없음.

1STEP 1

열 명에게 번호 붙이기

0–9 번호 매김. 각 쌍은 이웃 변 또는 지름 — 쓴 지름 수 k 로 경우를 나눈다.

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5로 분류

2STEP 2

지름 5개인 경우 세기

경우 k = 5: 지름 다섯 개 모두 사용, 모두 반대편과 짝 — 1 가지.

#{k = 5} = 1

3STEP 3

지름 4개인 경우 세기

경우 k = 4: 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝이라 이웃이 아님 — 불가능, 0 가지.

#{k = 4} = 0

4STEP 4

지름 3개인 경우 세기

경우 k = 3: 안 쓴 두 지름이 인접해야 성립 — 길이 5 사이클에서 5 가지.

#{k = 3} = 5

5STEP 5

지름 2개인 경우 세기

경우 k = 2: 남은 사람은 셋씩 두 호 — 연속 세 명은 이웃 짝짓기 불가, 0 가지.

#{k = 2} = 0

6STEP 6

지름 1개인 경우 세기

경우 k = 1: 다섯 지름 중 하나 선택, 양쪽 4 연속 호는 이웃 짝짓기 유일 — 5 가지.

#{k = 1} = 5 · 1 · 1 = 5

7STEP 7

지름 없는 경우 세기

경우 k = 0: 모두 이웃 변 — 10 사이클의 완벽 이웃 짝짓기는 정확히 2 가지.

#{k = 0} = 2

8STEP 8

모든 경우 더하기

성립하는 경우를 더하면 1 + 5 + 5 + 2 = 13, 선택지 (C).

1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 2 = 13 → (C)

정답

답 13은 선택지 범위 11 -- 15 중간에 위치하며, 큰 기여 케이스 두 개 (k = 1과 k = 3이 각각 5)와 작은 케이스 두 개 (k = 0의 2, k = 5의 1)의 합 5 + 5 + 2 + 1 = 13으로 자연스러움. 불가능 케이스 (k = 2, 4)는 그림으로 즉시 이해됨 — 남은 호의 길이가 홀수거나 반대편 두 사람만 남기 때문.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 10 명을 그리고 사용한 지름 수 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5로 나눠 세면 2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13. 답은 (C).

열 명에게 번호 붙이기
지름 5개인 경우 세기
지름 4개인 경우 세기
지름 3개인 경우 세기
지름 2개인 경우 세기
지름 1개인 경우 세기
지름 없는 경우 세기
모든 경우 더하기

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