경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #19
학년 4 counting
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
복잡한 그림에서 눈대중으로 직사각형을 세면 빠뜨리거나 중복하기 쉽습니다. 그래서 도구 #2(체계적인 목록 만들기)가 가장 안전한 계획이에요 — 직사각형을 크기별로 또는 어느 큰 직사각형 안에 들어 있는지에 따라 정렬해서 세어 봅니다. 도구 #1(그림 그리기)으로 세 원래 직사각형을 S(가운데 정사각형), H(가로), V(세로)로 이름 붙이고 변이 만나는 곳을 표시해 두면 도움이 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 (a) 큰 직사각형 세 개, (b) H가 정사각형을 가로지르며 만드는 추가 직사각형, (c) V가 정사각형을 가로지르며 만드는 추가 직사각형, (d) H와 V가 서로 겹치는 부분의 직사각형 — 이런 부분 문제로 카운트를 나눠 줍니다.
큰 직사각형 3개 세기
원래 그려진 세 직사각형 S(정사각형), H(가로), V(세로) 자체가 직사각형이라 바로 3 개입니다.
네 모서리가 직각인 가로·세로 정렬 직사각형을 알아보는 것은 3학년 도형 개념입니다.
3.G.A.1Draw A Diagram정사각형 안 직사각형 세기
S 안에서 두 자름이 2×2 격자를 만들어, 작은 조각 4 개와 반쪽 직사각형 4 개로 8 개가 새로 생깁니다.
정사각형을 같은 크기의 직사각형으로 나누고 합쳐서 세는 것은 3학년 "도형을 같은 넓이의 부분으로 분할하기" 표준 그대로입니다.
3.G.A.2Make A Systematic List조합으로 다시 세기
격자 공식 C(3,2)×C(3,2) = 9 로 확인되고, 이미 센 정사각형 S 를 빼면 8 개가 새로 생깁니다.
2 × 2 격자 안의 9 개 직사각형을 하나씩 적어 보는 것은 체계적인 목록의 전형이며 그림과 정확히 일치합니다.
정사각형 안에서 가로 자르기와 세로 자르기가 2 × 2 격자를 만들고, 그 안에는 모두 정확히 9개의 직사각형이 들어 있다.
▸ 왜?
격자 안의 모든 직사각형은 세 개의 세로선 중 어느 둘이 왼쪽·오른쪽 변인지와 세 개의 가로선 중 어느 둘이 위·아래 변인지를 고르면 정해지고, 각 짝을 고르는 방법이 3가지씩이므로 3 × 3=9이다.
▸ 왜?
직사각형 하나는 세로선 한 짝과 가로선 한 짝에 정확히 대응하고, 그런 짝지음 하나는 다시 직사각형 하나로 돌아가므로, 직사각형을 세는 것은 이 짝지음을 세는 것과 같다.
▸ 왜?
세로선 두 개를 고르는 방법은 3가지이고(왼쪽-가운데, 왼쪽-오른쪽, 가운데-오른쪽으로 적어 보면 된다), 그 각각에 대해 가로선 두 개를 고르는 같은 3가지가 열려 있어, 3이 든 같은 묶음 3개가 된다.
정사각형 밖 확인하기
H 와 V 가 S 밖으로 튀어나온 부분은 새 직사각형을 만들지 않습니다 — 바깥 변이 H·V 자체의 변이라 이미 셌으니까요.
"정사각형 안쪽"과 "정사각형 바깥쪽" 으로 영역을 쪼개서 세면 누락이나 중복을 피할 수 있습니다.
3.G.A.1Identify Subproblems직사각형 모두 합하기
모두 더하면 큰 직사각형 3 개 + S 안 새 직사각형 8 개 = 11, 정답 (D)입니다.
체계적인 목록의 소계를 더해 최종 답을 구하는 것은 4학년 여러 단계 문장제 풀이 그대로입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 그림을 깔끔한 조각으로 나눠서 더하는 4학년 "꼼꼼한 세기" 만 알면 풀 수 있어요!
- 큰 직사각형 3개 세기
- 정사각형 안 직사각형 세기
- 조합으로 다시 세기
- 정사각형 밖 확인하기
- 직사각형 모두 합하기
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