AMC 10 · 2020 · #18

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicconditional-probabilitysymmetry-argumentfraction-arithmetic easier-related-problemcaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

항아리에 빨강 공 1 개, 파랑 공 1 개가 들어 있습니다. George 가 다음 동작을 4 번 반복: 항아리에서 공 한 개를 무작위로 뽑고, 같은 색의 공을 곁의 상자에서 하나 가져와 두 공을 모두 항아리에 넣는다. 4 번 후 항아리 공은 6 개. 빨강 3, 파랑 3 일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (나열): 4 단계 기록은 길이 4 의 R/B 문자열. 빨강 2, 파랑 2 인 C(4, 2) = 6 개만 목표 상태에 도달. 사전순으로 나열하고 각 확률 계산. 도구 #5 (패턴): 한두 개 계산해 보면 분자는 항상 1 · 2 · 1 · 2 = 4, 분모는 2 · 3 · 4 · 5 = 120 — 모두 $\frac{1}{30}$ . 도구 #9 (더 쉬운 문제): RRBB 처럼 가장 단순한 순서부터 손으로 풀어 패턴을 발견.

1STEP 1

네 번 뽑기 직전 항아리는 2, 3, 4, 5 개 — 어떤 경로든 분모 곱은 120.

분모 = 2, 3, 4, 5; 곱 = 120

2STEP 2

빨강 3 파랑 3 이 되려면 빨강 2 파랑 2 뽑기 — 순서는 C(4, 2) = 6 가지.

C(4, 2) = 6 가지 순서

3STEP 3

RRBB 한 경로: $\frac{1}{2}$ · $\frac{2}{3}$ · $\frac{1}{4}$ · $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{120}$ = $\frac{1}{30}$ .

P(RRBB) =

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{1}{4}

\frac{2}{5}

\frac{4}{120}

\frac{1}{30}

4STEP 4

다른 순서 RBRB 도 $\frac{1}{2}$ · $\frac{1}{3}$ · $\frac{2}{4}$ · $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{120}$ = $\frac{1}{30}$ — 같은 값.

P(RBRB) =

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{2}{4}

\frac{2}{5}

\frac{4}{120}

\frac{1}{30}

5STEP 5

각 색의 첫 뽑기는 1, 둘째는 2 를 기여 — 모든 순서의 분자는 1 · 2 · 1 · 2 = 4.

분자 = 1_R · 2_R · 1_B · 2_B = 4 (모든 6 순서)

6STEP 6

서로 배타적인 6 순서가 각 $\frac{1}{30}$ — 합은 6 · $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{5}$ , 선택지 (B).

6 ·

\frac{1}{30}

\frac{6}{30}

\frac{1}{5}

→ (B)

정답

\frac{1}{5}

4 단계 후 가능한 빨강·파랑 분포는 (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5) 의 5 가지. 고전적인 Pólya 항아리 결과로 다섯 분포 모두 동일 확률 (같은 분자 4, 분모 120 논증을 다른 분포에도 적용 가능) — 각각

\frac{1}{5}

이고 그게 곧 답.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 경우 나열 확률만 알면 풀 수 있어요 — 빨강 2 파랑 2 순서 모두 확률 $\frac{1 · 2 · 1 · 2}{2 · 3 · 4 · 5}$ = $\frac{1}{30}$ . 순서 6 가지이므로 답은 6 · $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{5}$ , 선택지 (B).

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