AMC 10 · 2020 · #20

학년 8 geometry-3d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
volume-rectangular-prismvolume-cylindersurface-areaminkowski-sum identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prismsurface-area
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
B 는 모서리 길이가 1, 3, 4 인 직육면체 (속까지 채워진 입체). r ≥ 0 에 대해 S(r) 은 B 의 어떤 점으로부터 거리 r 이내인 모든 점의 집합 (상자를 r 만큼 '부풀린' 것). 부피는 r 의 삼차식 V(S(r)) = a r³ + b r² + c r + d 로 표현됨. bcad\frac{bc}{ad} 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6
(B)
19
(C)
24
(D)
26
(E)
38

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 부풀린 S(r) 은 성질이 다른 네 부분의 합 — 원본 상자, 면 위의 슬랩, 모서리 위의 원기둥 조각, 꼭짓점의 구 조각. 각 부분 부피를 따로 구하면 훨씬 쉬움. 도구 #1 (그림) · 도구 #17 (공간 상상): 빠른 스케치로 모서리당 14\frac{1}{4} 원기둥, 꼭짓점당 18\frac{1}{8} 구임을 확인.

1STEP 1

1조각 상자 자체: 부피 1 · 3 · 4 = 12, 상수항이므로 d = 12.

V₁ = 1 · 3 · 4 = 12, d = 12
2STEP 2

2조각 여섯 면 슬랩: 부피는 표면적 곱하기 r, 표면적 = 2(3 + 4 + 12) = 38, 따라서 c = 38.

표면적(B) = 2(1 · 3 + 1 · 4 + 3 · 4) = 38, V₂ = 38 r, c = 38
3STEP 3

3조각 열두 모서리 14\frac{1}{4} 원기둥: 같은 길이 4개가 완전 원기둥이 되어 V₃ = π r²(1 + 3 + 4) = 8π r², b = 8π.

V₃ = π r² (1 + 3 + 4) = 8 π r², b = 8π
4STEP 4

4조각 여덟 꼭짓점 18\frac{1}{8} 구: 합치면 완전 구 하나, V₄ = 43\frac{4}{3}π r³, 따라서 a = 43\frac{4}{3}π.

V₄ = 8 · 18\frac{1}{8} · 43\frac{4}{3}π r³ = 43\frac{4}{3}π r³, a = 43\frac{4}{3}π
5STEP 5

a = 43\frac{4}{3}π, b = 8π, c = 38, d = 12 → bcad\frac{bc}{ad} = 8π⋅3843π⋅12\frac{8π·38}{\frac{4}{3}π·12} = 304π16π\frac{304π}{16π} = 19.

bcad\frac{bc}{ad} = 8π⋅3843π⋅12\frac{8π · 38}{\frac{4}{3}π · 12} = 304π16π\frac{304π}{16π} = 19 → (B)
정답
19
π 의 깔끔한 약분이 가장 강한 검증 — b 와 a 가 각각 원기둥·구에서 π 하나씩 가져오고 c, d 는 π 무관. 따라서 bcad\frac{bc}{ad} 는 깔끔한 유리수, 정수 답 19 와 일치. 표면적 38, 모서리 합 8, 부피 12 — 상자 기하와 모두 맞아떨어짐.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 원기둥·구 부피 공식만 알면 풀 수 있어요 — 부풀린 상자를 네 조각 (상자, 슬랩, 모서리 원기둥, 꼭짓점 구) 으로 쪼개고 a = 4π3\frac{4π}{3}, b = 8π, c = 38, d = 12 를 읽어내면 bcad\frac{bc}{ad} = 304π16π\frac{304π}{16π} = 19. 답은 (B).

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