AMC 10 · 2020 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-trianglesisosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 ABCD 에서 점 E, H 가 변 AB, AD 위에 있고 AE = AH. 점 F, G 는 변 BC, CD 위에 있으며 FI, GJ 는 선분 EH 에 수직 — 발 I, J 는 EH 위에. 네 영역 — 삼각형 AEH, 사각형 BFIE, 사각형 DHJG, 오각형 FCGJI — 의 넓이가 각각 1. FI² 의 값?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{3}$

(B)

$8-4\sqrt2$

(C)

$1+\sqrt2$

(D)

$\frac{7}{4}\sqrt2$

(E)

$2\sqrt2$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): AE = AH 의 대칭성으로 A 를 원점에 두고 대각선 AC 를 대칭축으로 사용. 도구 #7(쪼개기): 핵심 관찰 — FI ∥ GJ (둘 다 EH 에 수직) 이므로 FGJI 는 직사각형. 오각형 = 직각삼각형 + 직사각형. 도구 #9(더 쉬운 문제): 대칭으로 CF = CG, FI = GJ 라 미지수가 둘 (c, p) — 두 식으로 풀림. 도구 #8(거리)와 #13(대수)으로 대각선 거리식과 한 줄 빼기로 답 도출.

1STEP 1

넓이 1 인 네 조각이 정사각형을 채워 넓이 4·변 2; 직각이등변 △AEH 로 AE = AH = √(2), EH = 2.

s = 2, AE = AH = √(2), EH = 2

2STEP 2

AE = AH 라 그림이 대각선 AC 에 대칭 — CF = CG, FI = GJ, 직선 FG 는 AC 에 수직.

CF = CG, FI = GJ

3STEP 3

FI ∥ GJ (둘 다 EH 에 수직)·FI = GJ 라 FGJI 는 평행사변형, FI ⊥ IJ 이니 직사각형.

FGJI 는 직사각형, 변 FI 와 IJ

4STEP 4

오각형 FCGJI = 직각이등변 △FCG + 직사각형 FGJI 로 나누면 $\frac{c²}{2}$ + c√(2)·FI = 1.

1 =

\frac{c²}{2}

+ c√(2) · FI

5STEP 5

좌표로 EH: x+y=√(2), FG: x+y=4-c; C→EH 거리 2√(2)-1 = $\frac{c}{√(2)}$ +FI 라 c+FI√(2)=4-√(2).

dist(C, EH) = 2√(2) - 1

6STEP 6

제곱 후 오각형식 2배를 빼면 2FI²=16-8√(2), 즉 FI²=8-4√(2).

c + FI √(2) = 4 - √(2)

정답

8-4√2

수치 점검: 8 - 4√(2) ≈ 2.343, FI ≈ 1.531. C 에서 EH 까지 거리 2√(2) - 1 ≈ 1.828 보다 작아야 ✓. c = (4 - √(2)) - FI √(2) ≈ 4 - 1.414 - 2.165 = 0.421, 0 ＜ c ＜ 2 적합 ✓. 오각형 넓이 확인:

\frac{0.421²}{2}

+ 0.421 √(2) · 1.531 ≈ 0.089 + 0.912 = 1.001 ✓. 선택지 (B) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 기하만으로 풀려요 — FI ∥ GJ 라 FGJI 가 직사각형이라는 점만 보면, 오각형 넓이 식과 대각선 거리 식의 제곱·차로 FI² = 8 - 4√(2) 가 바로 나옵니다.

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