경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2020B · #22
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #9(더 쉬운 문제): 2⁵⁰을 변수 x 로 치환. 제수는 2x² + 2x + 1, 피제수는 4x⁴ + 202 — 훨씬 다루기 쉬움. 도구 #5(패턴): Sophie Germain 류 항등식 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1) 포착. 도구 #7(쪼개기): 2²⁰² + 202 = (2²⁰² + 1) + 201로 나누고 첫 조각은 항등식으로 처리. 도구 #13(대수): 항등식이 엔진. 도구 #3(가능성 지우기): 202 = 1 + 201의 분리가 선택지 (D)와 직접 매치.
하나의 문자로 치환하기
x = 2⁵⁰ 치환: 제수는 N = 2x² + 2x + 1, 피제수 2²⁰² + 202 = 4x⁴ + 202.
거대한 2⁵⁰을 한 글자로 — 같은 문제, 보기 좋은 식.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem소피 제르맹 항등식 찾기
Sophie Germain 항등식: 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1).
완전제곱 만들기: (2x² + 1)² - (2x)², 차의 제곱으로 분해.
먼저 완전제곱으로 고치고 두 제곱의 차로 가르면 식 전체가 인수분해된다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것이다.
▸ 왜?
그 곱을 펼치면 각 조각이 각 조각과 만나며, 그것이 인수분해를 정확히 확인해 준다.
나누어떨어짐 확인하기
따라서 4x⁴ + 1 = N · (2x² - 2x + 1) — N 이 4x⁴ + 1을 정확히 나눔, 나머지 0.
Sophie Germain 분해 — N 이 4x⁴ + 1의 약수.
6.EE.A.3Identify Subproblems남는 201 떼어 내기
피제수 분리: 4x⁴ + 202 = (4x⁴ + 1) + 201; 첫 조각은 0이므로 4x⁴ + 202 ≡ 201 (mod N).
N 의 배수를 떼어내면 남는 건 201.
6.NS.B.4Identify Subproblems나머지 조건 확인하기
N = 2¹⁰¹ + 2⁵¹ + 1은 201 보다 천문학적으로 크므로 나머지는 201 — 답 (D).
201은 N 보다 한참 작아 곧바로 나머지.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities이 AMC 10 문제는 8학년의 "차의 제곱" 인수분해만 알면 풀려요 — x = 2⁵⁰ 치환으로 거대 지수를 작은 다항식 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1)로 줄이면, 2²⁰² + 202 = (2²⁰² + 1) + 201 에서 나머지 201이 바로 보입니다.
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- 남는 201 떼어 내기
- 나머지 조건 확인하기
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